Verificación de la prueba de:$x^2+1$ es irreducible sobre $\Bbb Q$

Question

Probar: $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$

Prueba: Desde $x^2+1=(x-i)(x+i)$, lo $x^2+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$.

¿Es lo correcto?

Answer 1

Se están reduciendo fuera de $\mathbb{Q}$. ¿

$$x^2 + 1 = (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab, \quad a,b \in \mathbb{Q}?$$

Entonces, usted tiene $a = -b$$ab = 1$, lo $0 \le a^2 = -1$, que no tiene una solución en $\mathbb{Q}$.

Answer 2

Usted también podría mostrar que, en caso de ser reductible, se ha raíces; por tanto, debe existir una $x\in\mathbb{Q}$ tal que $x^2+1=0$. Pero eso significa que $x²=-1$, lo cual es imposible ya que $x\in\mathbb{Q}$ implica que el $x^2\geq 0$.

Answer 3

El polinomio $f(x)$ es irreducible si y sólo si $f(x+1)$ es irreductible. Pero en su caso, $$f(x+1) = (x+1)^2 +1 = x^2 + 2x + 2$$ es irreductible por el criterio de Eisenstein (con $p=2$.)

Answer 4

Su enfoque puede ser hecho a la derecha.

• Si $x^2 + 1$ era reducible $\mathbb{Q}$, entonces hay monic polinomios $f,g$ $\mathbb{Q}$ tal que $fg = x^2 + 1$, y ninguna de las $f$ ni $g$ son constantes
• Si $x^2 + 1$ era reducible $\mathbb{Q}$, entonces hay monic, lineal de los polinomios $f,g$ $\mathbb{Q}$ tal que $fg = x^2 + 1$
• Si $x^2 + 1$ era reducible $\mathbb{Q}$, entonces hay monic, lineal de los polinomios $f,g$ $\mathbb{C}$ tal que $fg = x^2 + 1$ $f,g$ ambos coeficientes en $\mathbb{Q}$

Sin embargo, sabemos que no es sólo uno de esos factores sobre $\mathbb{C}$, de modo que se pueda conectar en la única posible de la factorización de (hasta el intercambio de factores) en este enunciado:

• Si $x^2 + 1$ era reducible$\mathbb{Q}$, $x+i$ $x-i$ ambos coeficientes en $\mathbb{Q}$.

Esta última afirmación es falsa, el original debe ser así.

Answer 5

Las respuestas proporcionadas por Gustavo y Mark son grandes! Además, permítanme indicar cómo se puede arreglar su argumento: usted ha factorizado $x^2+1\in \mathbb{C}[x]$ a través de la inclusión $\mathbb{Q}[x]\subseteq \mathbb{C}[x]$ de los anillos. Si $x^2+1$ era reducible en $\mathbb{Q}[x]$, entonces sería reducible en $\mathbb{C}[x]$. Por el hecho de que $\mathbb{C}[x]$ es un UFD, la reducción de la $x^2+1\in \mathbb{C}[x]$ en irreducibles debe ser la reducción de la $(x-i)(x+i)$ (hasta multiplicación por escalares y reordenamiento). Sin embargo, esto es imposible como $i\not\in \mathbb{Q}$. (Verifique para asegurarse de que entiende los detalles; el punto clave es que el $\mathbb{C}[x]$ es un UFD!)

Por supuesto, esta solución es indirecta y no aclarar el punto clave. Sin embargo, yo quería hablar de esto porque se basa en el argumento original que tenía en mente. (Ver Hurkyl la gran solución para una explicación a lo largo de líneas similares!)

Espero que esto ayude!