Determinante de una matriz nxn

Question

No sé cómo se llama este tipo de matriz, realmente no parece Circulante, pero intenté hacer muchas operaciones de filas y columnas para convertirla en una matriz triangular superior, por lo que el factor determinante sería el producto de los elementos diagonales. Pero no pude encontrar una manera. ¿Alguna idea?

Esta es la matriz:

PS

Answer 1

Deje $M_n$ ser su matriz.

Deje $\eta_n$ ser $n\times n$ matriz con la entrada de $1$ en el superdiagonal y $0$ 4 en otros lugares. Si

1. Restar de la fila $k+1$ de la fila $k$ para $k = 1,2,\ldots,n-1$.
   Esto es equivalente a multiplicar $M_n$ por $I_n - \eta_n$ desde la izquierda

2. Restar la columna de $k-1$ de columna $k$ para $k = n,n-1,\ldots,2$ (fíjate en el orden de $k$).
   Esto es equivalente a multiplicar $(I_n-\eta_n)M_n$ por $I_n - \eta_n$ desde la derecha.

Después de hacer esto, su matriz se simplifica a $$(I_n - \eta_n) M_n (I_n - \eta_n) = \begin{bmatrix} n-1&-n&0&\cdots&0&0&0\\ 0&n-1&-n&\cdots&0&0&0\\ 0&0&n-1&\ddots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n-1&-n&0\\ 0&0&0&\cdots&0&n-1&-\lambda\\ 1&0&0&\cdots&0&0&\lambda-1 \end{bmatrix}$$

A partir de esto, se puede deducir

$$\det[M_n] = \det[(I_n - \eta_n)M_n(I_n - \eta_n)] = (n-1)^{n-1}(\lambda-1) + n^{n-2}\lambda$$

Answer 2

Este es un rango de una actualización de una matriz triangular. Deje $A$ ser la matriz en el post y deje $B$ ser la matriz con entradas de $b_{ij} = a_{ij} - 1$. Deje $e$ ser el vector columna de 1. A continuación, $A = ee^T + B$.

A continuación, $\det(A) = \det(B)(1+ e^TB^{-1}e)$. Desde $B$ es triangular, $B^{-1}e$ no es difícil de encontrar.

Este se define si $\lambda \ne 1$. Para $\lambda = 1$, tomar el límite.