Resolviendo la matriz ecuación $X^tA+A^tX=0$ $X$ $A$

Question

Supongamos que yo sepa $A$. Y todas las matrices de la ecuación son matrices cuadradas. Quiero resolver para $X$ dado que

$$X^tA + A^tX = 0$$

No soy muy bueno en la matriz de cálculo. Es posible solucionar este problema en el sentido de que podemos encontrar una solución de forma cerrada para $X$ en términos de $A$ y posiblemente algún otro vector B (como un parámetro libre, si es necesario)? Por ejemplo, cuando se $A = I$, podemos ver que $X=B$ para cualquier anti-simétrica matriz $B$.

La motivación para esta pregunta viene de la visión por ordenador. Sabemos que una homografía $H$ entre las dos fotos es inducida por un plano en el espacio si y sólo si $H^tF$ es anti-simétrica donde $F$ es la matriz fundamental. También sé que $F$ puede parametrizar como $F=[e]_{\times}M$ donde $M$ es invertible. Ahora quiero encontrar una forma general para $H$. Por lo tanto, esta pregunta.

Edit: Ya que el caso general, podría ser demasiado amplia y desafiante, vamos a limitar nuestra atención en el caso más sencillo, donde $A$ e $X$ se $3 \times 3$ matrices y $A$ no es invertible. El caso general, parece muy interesante.

Answer 1

Edit: usted puede mirar en los métodos para la solución de Sylvester Ecuaciones que son de la forma $AX+XB=C$.

Caso General

Dudo que esta es la mejor manera de resolver la ecuación, pero es al menos una forma de solucionarlo.

Escribir, $$ X = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ x_1 & x_2 & & x_n \\ | & | & & | \\ \end{bmatrix} , ~~ A = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ a_1 & a_2 & & a_n \\ | & | & & | \\ \end{bmatrix} $$

Then the $i,j$ entry of $X^TA+A^TX = 0$da, $$ x_i^Ta_j + a_i^Tx_j = a_j^Tx_i + a_i^Tx_j = 0 $$

We can rewrite this as a matrix vector equation $\tilde{A}x = 0$ $$ \begin{bmatrix} a_1^T & & & & \\ a_2^T & a_1^T & & & \\ a_3^T & & a_1^T & & \\ \vdots & & &\ddots & \\ a_n^T & & & & a_1^T \\ \hline a_2^T & a_1^T & & \cdots & \\ & a_2^T \\ & a_3^T & a_2^T & & \\ & \vdots & & \ddots \\ & a_n^T & & & a_2^T \\\hline &&\vdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = 0 $$ donde la matriz $\tilde{A}$ es el tamaño de la $n^2\times n^2$ y el vector $x$ es el tamaño de la $n^2\times 1$.

Tenga en cuenta que muchas de las filas son idénticas. En particular, existen en la mayoría de las $n(n-1)/2$ filas únicas. Esto nos dice que el espacio nulo de a$\tilde{A}$ es al menos la dimensión de $n^2-n(n-1)/2 = n(n+1)/2$. Cada elemento del espacio nulo de a$\tilde{A}$ da una solución a la ecuación original, así que hay al menos esta cantidad de soluciones.

Así que la búsqueda de soluciones a la ecuación original cantidades para encontrar vectores en el espacio nulo de esta nueva matriz (hay muchas bibliotecas existentes para hacer esto).

3 por 3 caso

He utilizado mathematica y el método anterior para encontrar todas las soluciones $X$. Podemos definir entradas de $A$por $$ A = \begin{bmatrix} A1 & B1 & C1 \\ A2 & B2 & C2 \\ A3 & B3 & C3 \\ \end{bmatrix} $$

We input this to mathematica, compute the null space of $\tilde{A}$ , como se define anteriormente, y luego reconfigurar los vectores del espacio nulo.

AA = {{A1, A2, A3}}\[Transpose];
BB = {{B1, B2, B3}}\[Transpose];
CC = {{C1, C2, C3}}\[Transpose];

A = ArrayFlatten[{{AA\[Transpose], 0, 0}, {BB\[Transpose], 
 AA\[Transpose], 0}, {CC\[Transpose], 0, 
 AA\[Transpose]}, {BB\[Transpose], AA\[Transpose], 0}, {0, 
 BB\[Transpose], 0}, {0, BB\[Transpose], 
 CC\[Transpose]}, {CC\[Transpose], 0, AA\[Transpose]}, {0, 
 CC\[Transpose], BB\[Transpose]}, {0, 0, CC\[Transpose]}}];

NA = NullSpace[A]

A continuación, las soluciones son combinaciones lineales de las siguientes: $$ X1= \left( \begin{array}{ccc} -\frac{\text{A3} \text{B2} \text{C1}-\text{A2} \text{B1} \text{C3}}{\text{C1} (\text{B2} \text{C1}-\text{B1} \text{C2})} & -\frac{\text{B2} (\text{B3} \text{C1}-\text{B1} \text{C3})}{\text{C1} (\text{B2} \text{C1}-\text{B1} \text{C2})} & -\frac{\text{C3}}{\text{C1}} \\ -\frac{\text{A1} \text{B1} \text{C3}-\text{A3} \text{B1} \text{C1}}{\text{C1} (\text{B2} \text{C1}-\text{B1} \text{C2})} & \frac{\text{B1} \text{B3} \text{C1}-\text{B1}^2 \text{C3}}{\text{C1} (\text{B2} \text{C1}-\text{B1} \text{C2})} & 0 \\ -\frac{\text{A1} \text{B2}-\text{A2} \text{B1}}{\text{B1} \text{C2}-\text{B2} \text{C1}} & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $$

$$ X2= \left( \begin{array}{ccc} -\frac{\text{A2}}{\text{C1}} & -\frac{\text{B2}}{\text{C1}} & -\frac{\text{C2}}{\text{C1}} \\ \frac{\text{A1}}{\text{C1}} & \frac{\text{B1}}{\text{C1}} & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

$$ X3= \left( \begin{array}{ccc} -\frac{\text{A3} \text{C2}-\text{A2} \text{C3}}{\text{B1} \text{C2}-\text{B2} \text{C1}} & -\frac{\text{B3} \text{C2}-\text{B2} \text{C3}}{\text{B1} \text{C2}-\text{B2} \text{C1}} & 0 \\ -\frac{\text{A1} \text{C3}-\text{A3} \text{C1}}{\text{B1} \text{C2}-\text{B2} \text{C1}} & -\frac{\text{B3} \text{C1}-\text{B1} \text{C3}}{\text{B2} \text{C1}-\text{B1} \text{C2}} & 0 \\ -\frac{\text{A2} \text{C1}-\text{A1} \text{C2}}{\text{B1} \text{C2}-\text{B2} \text{C1}} & 1 & 0 \\ \end{array} \right) $$