¿Es suficiente para probar las declaraciones de dos o tres conjuntos diagrama de Venn?

Question

Sabemos que la figura general de los diagramas de Venn de dos o tres conjuntos distintos.

Hay muchas fórmulas relacionadas con dos o tres grupos.

Por ejemplo, uno de los Distributiva de la Ley es

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$$

Se puede visualizar mediante un Diagrama de Venn, y supongo que es cierto.

Y también, podemos probar para mostrar que cada uno está contenido en el otro lado.

Es mi pregunta. Por rigurosas pruebas, sé que sólo debe utilizar la lógica matemática y el teorema. No obstante, quiero comprobar que el Diagrama de Venn de la prueba también está disponible para algunos de los más fáciles de casos.

Pueden Diagrama de Venn ser un método de prueba?

Podemos probar que todas las pruebas mediante el uso de un Diagrama de Venn método para dos o tres conjuntos es cierto?

Si podemos demostrar que, a continuación, todas las declaraciones de dos o tres conjuntos pueden ser rigurosamente demostrado mediante el uso de un Diagrama de Venn.

Answer 1

Los diagramas de Venn son no formales de la prueba, ni un sustituto para ella, sólo ilustrativa herramienta que puede ser útil como una guía de la herramienta para su narrativa/prueba.

Si la escritura de una prueba formal de esta ley, deberá mostrar

$$A \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cup C) \;\;\; \text{and} \;\;\; (A \cup B) \cap (A \cup C) \subseteq A \cup (B \cap C)$$

y, a continuación, utilice el hecho de que si $X \subseteq Y$ e $Y \subseteq X$, a continuación, $X = Y$.

Si usted no necesita la formalidad, a continuación, en el contexto adecuado puede ser usado, supongo. Y, a su capacidad para producir dichos diagramas, se puede utilizar un diagrama de Venn de $n$ círculos, dependiendo de lo que estás demostrando, pero se vuelve desordenado rápido así que no lo recomendaría para más de $3$ conjuntos.

En definitiva, depende del nivel de formalidad que se espera de usted. No se puede negar que los diagramas de Venn en contextos como estos, son super, super útil para ilustrar los conceptos, y puede ser tomado como una especie de heurística de la prueba, pero no son un sustituto para las pruebas.

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Digo esto a la luz de la suposición de que usted es probable encontrar esto en una clase de algún tipo como un número de preguntas aquí. Las clases en la teoría de conjuntos, por lo general, se espera la formalidad, no los diagramas de Venn, por ejemplo. En la investigación, publicaciones, revistas, etc., las cosas son mucho, mucho más oscuro, dependiendo del contexto.

Answer 2

Creo que este es un caso de "considerar a la audiencia".

Si la prueba está destinada a la investigación en matemáticas, no me puedo imaginar un escenario donde un diagrama de Venn sería necesario, ya que cualquier declaración que puede ser razonablemente codificado en un diagrama de Venn es probablemente primaria suficiente para no requerir una prueba.

Si la prueba es de un estudiante de un tema, entonces esto depende de las expectativas del maestro. Si ellos son la enseñanza de la prueba formal de las técnicas, a continuación, un diagrama de Venn probablemente no sería suficiente porque el estudiante sería perder el punto del ejercicio. Esto puede depender del nivel del curso, aunque.

Si yo fuera la enseñanza de una prueba de escritura de curso de matemáticas majors, yo no lo consideraría un diagrama de Venn a ser suficiente. Si me estaban enseñando una introducción a la matemática discreta para CS o especialización en ciencia, entonces yo sería aceptar un diagrama de Venn si fue acompañado por una frase o dos explicando por qué no se muestra lo que el autor está diciendo que se muestra.

Answer 3

Yo creo que la segunda parte de la pregunta equivale a "podemos definir formalmente un conjunto de correspondencias entre las características de un diagrama de Venn, los símbolos y los operadores de la teoría de conjuntos, de tal manera que cada diagrama de Venn de la prueba es equivalente a una prueba formal utilizando los operadores y símbolos?"

A mí me parece que esto podría ser posible en un muy limitada, pero se ejecutará en dificultades a causa de cosas como la necesidad de distinguir entre abiertos y conjuntos cerrados, $\subset$ e $\subseteq$, etcétera. Por lo que tendríamos que ser muy cuidadosos acerca de que las relaciones pueden ser incluidos en el sistema, y probablemente encontrará rápidamente de que no había suficiente de ellos para nuestros propósitos.

Creo que probablemente podría ser hecho de trabajar para una determinada clase de simple identidades que cumplen ciertas condiciones previas -, pero que las condiciones previas sería tan restrictiva que no íbamos a encontrar un "formal diagrama de Venn" método particularmente útil.

Ejemplo del problema

Lo que hace este diagrama nos dicen acerca de $A$, $B$ e $x$?

Probablemente desee esto:

• $x$ es representado como un punto dentro de los límites del área que representa el $A$; este se define como $x\in A$.
• Del mismo modo, $x\in B$.
• El límite de la zona que representan a $A$ está totalmente en el interior de la zona que representan a $B$: este se define como $A\subset B$.

Ya que existen algunas limitaciones evidentes:

• Hemos definido el límite de $A$ está dentro de la de $B$ a la media de $A\subset B$. Eso está bien, pero ¿cómo vamos a representar a $A\subseteq B$?
• Hay un área en el dibujo que representa a $B-A$. Es destinado a contener ningún elemento? Si no, ¿cómo podemos evitar ser engañado por ella?
• ¿Qué acerca de los puntos en el límite entre la $A$ e $B$? Que conjunto al que pertenecen? (Lo que es equivalente, es $A$ abierto o cerrado?)

En última instancia, la cuestión es esta: el diagrama es una región de $2$-dimensiones del espacio, de que las áreas en el diagrama son subconjuntos. Sin embargo, no necesariamente podemos dar a estos subconjuntos de las mismas propiedades que los conjuntos que representan. En particular, no necesariamente podemos evitar dar más, las propiedades no deseadas-como el de todos los subconjuntos de estar representados adecuada de los subconjuntos.

Answer 4

Que los dos conjuntos son iguales es equivalente a mostrar que un arbitrario $x$ es miembro de la de la izquierda si y sólo si es un miembro de la mano derecha. Ahora que va a depender sólo de cuál de los siguientes enunciados $x\in A$, $x\in B$, $x\in C$ espera. Por lo tanto, es suficiente para comprobar ocho casos. Esto corresponde a la observación de las ocho regiones de un diagrama de Venn de tres conjuntos. Así que, sí, una prueba mediante el diagrama de Venn es válida en este caso.

Answer 5

Yo diría que Venn los diagramas no son bueno para pruebas formales, pero muy bien si tienes que decir si una fórmula es una tautología o no - simplemente busque cualquier contraejemplo y si encuentra uno, entonces la fórmula no es una ley.