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Question

Encontrar $$M:=\sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{2}{n^2}$$

No hay una solución aquí que utiliza los números complejos, que yo no entendía y me preguntaba si la siguiente es también un método correcto.

Mi propuesta de solución

$$\begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{2}{n^2}\\ =&\sum_{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{(1+n)+(1-n)}{1-(1+n)(1-n)}\\ =&\sum_{n=1}^{\infty}(\tan^{-1}(1+n)+\tan^{-1}(1-n))\\ =&\sum_{n=1}^{\infty}(\tan^{-1}(n+1)-\tan^{-1}(n-1)) \end{align} $$

Y esto implica $$M=\lim_{m\to\infty}(\tan^{-1}(m+1)+\tan^{-1}m-\tan^{-1}1-\tan^{-1}0)=\frac{3\pi}{4}$$

Answer 1

<span class="math-container">$$\begin{align} &\sum{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{2}{n^2}\ =&\sum{n=1}^{\infty}\tan^{-1}\frac{(1+n)+(1-n)}{1-(1+n)(1-n)}\ =\color{red}{\sum{n=1}^\infty}&\tan^{-1}(1+n)+\tan^{-1}(1-n)\ =\color{red}{\sum{n=1}^\infty}&\tan^{-1}(n+1)-\tan^{-1}(n-1) \end {Alinee el} $$</span>

Edición:<span class="math-container">$\color{red}{\sum_{n=1}^\infty}$</span> faltaba en su pregunta antes de editar. No voy a borrar esto.

Sin embargo la prueba ahora es correcto. <span class="math-container">$$M=\lim_{m\to\infty}(\tan^{-1}(m+1)+\tan^{-1}m-\tan^{-1}1-\tan^{-1}0)=\color{red}{\frac\pi2+\frac\pi2-\frac\pi4-0=\pi-\frac\pi4}=\frac{3\pi}{4}$$</span>

Answer 2

Se ve bien para mí. Si me iba a ofrecer una crítica que me acaba de decir: al escribir un argumento siempre es mejor comunicar de más en lugar de debajo de comunicarse.

La primera igualdad es sólo el álgebra.

Su segunda igualdad requiere un poco para ver con claridad, pero es cierto. La mayoría recuerda:

$$\tan(A+B)=\frac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)}$$ O si quieres: $$A+B= \tan^{-1} \bigg(\frac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)} \bigg)$$ Tomando $A=\tan^{-1}(1+n)$ e $B=\tan^{-1}(1-n)$

Honestamente añadir mucho esta explicación parece casi una exageración.

El 4 de igualdad de la siguiente manera, como resultado de $\tan^{-1}$ ser una función impar.

Ahora, la última parte está utilizando un telescópico de la serie técnica de modo que usted puede ignorar todos los términos centrales. Es decir,

$$\begin{align} &\sum_{n=1}^\infty\tan^{-1}(n+1)-\tan^{-1}(n-1) \\ &= \lim_{m\to \infty} \tan^{-1}(m+1)-tan^{-1}(m-1)+\dots +\tan^{-1}(4)-\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)-\tan^{-1}(1)+tan^{-1}(2)-\tan^{-1}(0) \end{align}$$

Así que después de considerar lo anula y lo que no, nos encontramos con que sólo tenemos que ocuparnos de la $$\lim_{m\to \infty}\tan^{-1}(m+1)+\tan^{-1}(m-1)-\tan^{-1}(1)$$

Así, mientras que es cierto: yo creo que puede merecer una frase o dos para asegurarse de que el público es el siguiente.