¿Por qué no funciona la regla de L'hopitals para $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x+ \sin x}{x+ 2 \sin x}$ ?

Question

Así es como yo evaluaría $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x+ \sin x}{x+ 2 \sin x}$

$=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x \left( 1+ \frac{\sin x}{x} \right)}{x \left(1+ 2 \cdot \frac{ \sin x}{x} \right)}$

$= \dfrac{1+0}{1+2 \cdot 0} = 1$

Pero ahora aplicando la regla de L'hopitals, obtengo

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1+ \cos x}{1+ 2 \cos x}$

Desde $\cos x $ sólo oscila entre $[-1,1]$ Creo que podemos concluir que el límite no existe.

¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

La regla de L'Hospital contiene la suposición de que $\lim_{x \to a} f'(x)/g'(x)$ existe, lo que no es cierto en este caso.

Answer 2

Porque su función no satisface la hipótesis. Si estás estudiando el límite $x\to c$ para aplicar el teorema la función $g=x+2\sin x$ debe ser diferenciable y $g'(x)\ne 0$ en un intervalo abierto que contiene $c$ , excepto en $c$ . Esto significa que se necesita un conjunto (M,+ \infty ) donde $g' \ne 0$ . Pero $g'(x)=0$ $\forall x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$ , por lo que no existe un conjunto así.