¿Hay una prueba más simple de este hecho en el análisis?

Question

Supongamos que $f:(0,1)\to\mathbb{R}$ es diferenciable, y que $f(x_1)=f(x_2)=0$ e $f'(x_1)>0$ e $f'(x_2)>0$ para algunos $0 <x_1<x_2<1$. A continuación, debe existir un $x_0\in(x_1,x_2)$ tal que $f(x_0)=0$ e $f'(x_0)\leq0$, como sigue: Deje $A=\{x\in(x_1,x_2):f(x)\geq0\}$, y tenga en cuenta que $A$ es no vacío, ya que la condición $f'(x_1)>0$ garantías que existen puntos que superan $x_1$ arbitrariamente pequeñas cantidades, en que $f$ es estrictamente positivo. También tenga en cuenta que $A$ está delimitado por encima, por $x_2$. Por lo tanto, vamos a $x_0=\sup A$. Tenga en cuenta que $x_0 > x_1$. Desde $f'(x_2)>0$, existen puntos que $x_2$ supera por arbitrariamente pequeños importes positivos, en que $f$ es estrictamente negativo. De ello se desprende que $x_1 < x_0 < x_2$. Por la continuidad de $f$, $f(x_0)=0$. Desde $f(x)<0$ para todos los $x\in(x_0,x_2)$, se deduce también que $f'(x_0)\leq0$, según se requiera.

Es esto una prueba de lo correcto, y no es una simple prueba, tal vez usando un ready-made teorema de tales como el Teorema del Valor Intermedio ?

Answer 1

Por su argumento de que existen puntos de $x_1 < x' < x'' < x_2$ donde $f(x') > 0$ e $f(x'') < 0$. Por el IVT hay al menos un punto de $y_1$ (y posiblemente más) donde $x' < y_1 < x''$ e $f(y_1) = 0$.

Si $f'(y_1) \leqslant 0$, entonces hemos terminado. Por otro lado, si $f'(y_1) > 0$, luego tenemos el mismo problema con $y_1$ sustitución de $x_2$ y existe un punto de $y_2$ entre $x_1$ e $y_1$ tal que $f(y_2) = 0$.

Continuando de esta manera podemos encontrar un cero donde la derivada es menor o igual a $0$ o generar una secuencia $y_n \in (x',x'')$ tal que $f(y_n) = 0$ e $f'(y_n) > 0$.

Sin embargo, se puede demostrar que si no hay ceros de una función es derivable en un intervalo cerrado donde la derivada también es $0$, entonces el conjunto de ceros es finito. Desde $f$ es diferenciable en el intervalo cerrado $[x_1,x_2]$ , sólo existe un conjunto finito de ceros $\{y_1,y_2, \ldots, y_n\}$ entre $x_1$ e $x_2$.

Armados con esto, usted puede ahora mostrar que $f'(y_n) \leqslant 0$ desde $y_n$ debe ser el número más pequeño entre $x'$ e $x''$ con $f(y_n) = 0$. Si $f'(y_n) > 0$ entonces no sería otro cero entre el $x'$ e $y_n$, una contradicción.

Anexo

Supongamos $f$ es diferenciable en a$[a,b]$ y en ningún momento se $x \in [a,b]$ do tenemos $f(x) = f'(x) = 0$. Entonces el conjunto de puntos en $[a,b]$ donde $f(x) = 0$ es finito.

Para demostrar esto, supongamos lo contrario. A continuación, hay una secuencia infinita de ceros y por la compacidad y continuidad de una larga $(x_n)$ converger en algún momento' $c \in [a,b]$ tal que $f(x_n) = f(c) = 0$. Desde $f$ es diferenciable

$$f'(c) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(c)}{x_n - c} = 0,$$

una contradicción.

Answer 2

La prueba es correcta (+1) y la idea clave es que si $f$ es continua en a$[a, b] $ entonces el conjunto $A=\{x\mid x\in[a, b], f(x) =k\} $ es cerrado (imagen inversa de un conjunto cerrado bajo continuo mapa está cerrado, similar resultado se mantiene para abrir establece también).

Aquí usted elija $a$ cerca y a la derecha de $x_1$ , de modo que $f(x) >0\,\forall x\in(x_1,a]$ e $b$ cerca y a la izquierda de $x_2$ tal que $f(x) <0\,\forall x\in[b, x_2)$. Por IVT el conjunto $$A=\{x\mid x\in[a, b], f(x) =0\} $$ is non empty and as noted above is closed. Since $Un$ is obviously bounded and closed it has a minimum and a maximum. Both $\min$ and $\max$ (which can be same) work as the desired point $x_0$.