Por el bien de la simplicidad, he estado buscando solo en base a$10$ números, aunque me he preguntado cómo podría funcionar esto en otras bases más fácil la de seguir con el familiar, sin embargo, ya que esto es puramente recreativo. De forma análoga formulaciones en otras bases, y son de fácil construcción (al menos para bases de $b$ que son números enteros mayores o iguales a $2$).
En la medida en que contexto se refiere, no hay mucho más que esto era algo que yo estaba pensando en la noche anterior, y yo no podía encontrar alguna discusión sobre este en línea.
Formulación de la Pregunta:
Para el motivo de la discusión, vamos a considerar nuestro número de $n$, que puede ser representada por las siguientes formas:
$$n = ...d_3d_2d_1d_0.d_{-1}d_{-2}d_{-3}... \Leftrightarrow n = \sum_{k \in \mathbb{Z}} d_k 10^k$$
donde cada una de las $d_k \in \{0, 1, ..., 9 \}$, con su líder y ceros finales ignorado. (Por ejemplo, $000012$ es tratado como $12$ e $12.3500000...$ es tratado como $12.35$.) El ex consecuencia significa que el primer dígito distinto de cero es un número que nos etiqueta $d_f$ con índice de $f$. Así, de manera equivalente, las formas antes mencionadas se da por
$$n = d_f...d_3d_2d_1d_0.d_{-1}d_{-2}d_{-3}... \Leftrightarrow n = \sum_{k = f}^\infty d_k 10^k$$
donde cada una de las $d_k \in \{0, 1, ..., 9 \}$ e $d_f \neq 0$.
Vamos ahora a definir un "producto de los dígitos", o "producto digital, la función" $dp(n)$ por
$$dp(n) = \prod_{k \leq f} d_k = \text{"the product of n's digits in base 10"}$$
Entonces la pregunta es la siguiente:
Hay alguna "trivial" número (al menos en la base de las $10$) cuyo producto digital es el número en sí, es decir, cualquier natural $n \geq 10$ tales que $$dp(n) = n$$
Yo digo trivial debido a que, por números de un solo dígito, es claro que $dp(n) = n$. Estoy más interesado en la "trivial resultados," siempre que existe.
Algunas reflexiones e Investigaciones:
Idealmente, sería posible demostrar $dp(n) \neq n$ para todos los $n$ de preocupación, o al menos demostrar que existe algún número(s) de que la igualdad de su producto digital, pero no creo que sería (como mínimo) una tarea fácil. Así que me he en lugar de rebotar en torno a las ideas de otros y tal en mi cabeza:
Hay otro que se detalla al final de la sección anterior, algo que me motiva hacer esta pregunta. Que el ser que, por cualquier dígito número en cualquier base, $dp(n) = n$.
Obviamente, demasiado, cualquier número que contiene cualquier $0$'s satisface $dp(n) = 0$.
Cualquier número entre $9^m$ e $10^m$ para un determinado número natural $m$ no satisfacer $dp(n) = n$, desde el máximo del producto digital para $m$ dígitos serían $9^m$.
Cualquier permutación de los dígitos de $n$ no cambia el producto digital. Cualquier número con $1$'s en la que también puede tener de forma segura añadido o eliminado sin cambiar el producto digital. Que es, por ejemplo, $2, 21, 121, 121111111$ y cualquier permutaciones de sus dígitos, todos tienen el mismo producto digital.
$n$ debe ser un número entero. Matices con respecto a los negativos no son algo que quiero tratar, así que para simplificar este problema es esencialmente reducido a lidiar con $n \in \mathbb{N}$. Esto es debido a que los números enteros no negativos son cerrado bajo la multiplicación, y por lo tanto $dp(n) \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ para todos los verdaderos $n$. (Bueno, tal vez algunos números irracionales habrían $dp(n) "=" \infty$? Esa es una pregunta que todos en su propio honestamente, pero como ser irracional significaría tener una parte fraccionaria, y la parte fraccionaria de todos los productos digitales es cero, es decir $dp(n) \neq n$.)
Parece obvio que si $dp(n)$ tiene menos dígitos que $n$ (o más, pero más sobre esto más adelante), entonces obviamente $dp(n) \neq n$. Pero esto plantea una pregunta: ¿cuál sería el valor mínimo para que $n$ e $dp(n)$ , en caso de no ser igual, al menos tienen la misma cantidad de dígitos? (Esta pregunta estaría motivado por el equipo busca y podría ser útil en reducir el tiempo de cómputo adicional junto con las observaciones anteriores.)
Por supuesto, esta pregunta también podría ser enmarcada en otra forma, a pesar de mi formación matemática es menos cierto de dónde proviene. Es decir, considerar la aplicación repetida de los productos digitales de la función, es decir, $dp(n), dp(dp(n)), dp(dp(dp(n))),...$. La alternativa de la formulación de esta pregunta a la luz de esto sería que, ¿hay algún número con dos o más dígitos que bajo iteración de la función eventualmente ciclos (quedar atrapado en un bucle), sin llegar a un solo dígito de los números?
En la investigación de un tema relacionado, de suma-producto de los números, se discutió sobre el MSE que $dp(n) \leq n$. (Nuestra investigación se preocupa de dónde son iguales). Así que en ese sentido, en la repetición de la iteración, el producto digital se disminuye monótonamente (aunque no es estrictamente monótona). Es decir,
$$ \text{one of 0-9} ... \leq dp^{i+1}(n) \leq dp^i(n) \leq dp^{i-1}(n) \leq ... dp^2(n) \leq dp(n) \leq n$$
Un Crudo Búsqueda Por Fuerza Bruta:
He hecho un relativamente crudo secuencia de comandos de MATLAB que (ya publicado) verifica que los números de $10$ a $10^{10}$ para $dp(n) = n$. (Crudo en los que realmente no incorporar ninguna de las observaciones anteriores, sólo comprueba todos ellos. Estoy muy, muy terrible con la programación.)
En la actualidad, se comprueban todos aquellos a $5 \times 10^{9}$ y ninguno (que tienen más de un dígito) han cumplido la condición. Esto sugiere que, si $n$ no existe, será relativamente grande, aunque dada la lentitud $dp(n)$ obviamente crece con el tiempo probablemente no existe (aunque demostrando que se me escapa - esto es un poco por encima de mi cabeza).
Dudo que pueda comprobar muchos más números, sin embargo. Estoy ejecutando este script en mi laptop que es bastante fuera de fecha, y es sólo una muy pobre de la máquina en general. El guión en sí, probablemente podría ser refinado así.
Así Que Mi Pregunta Para Usted:
Ya sea por fuerza bruta o por otros medios, se puede encontrar un (no trivial) número tal que $dp(n) = n$?
Actualmente estoy en el punto de conjeturas ninguna de dichas $n$ existe, pero no tengo ni idea de cómo se puede demostrar que. (Como, legítimamente ninguna pista. No tengo idea de por dónde empezar para algo como esto.)
Me di cuenta de que el número de suma-producto de los números es finito. Según su propia definición, tal vez podría sugerir además que el número de números de tal manera que $dp(n) = n$ es también finito?
Tal vez sólo notables pensamientos/hallazgos en la materia, o la investigación en este que he pasado por alto?
