Números en la pizarra

Question

Todos los números de $1$ a $155$ están escritos en un pizarrón, una vez cada una. Podemos elegir al azar dos números y eliminarlos, mediante la sustitución de uno de ellos con su producto, además de su suma. Repetimos el proceso hasta que haya sólo un número de la izquierda. ¿Cuál es el valor promedio de este número?

No sé cómo abordarlo: Para dos números, $1$ e $2$, el número sólo es $1\cdot 2+1+2=5$ Para tres números, $1, 2$ e $3$, se puede optar por reemplazar $1$ e $2$ con $5$ y, a continuación, $3$ e $5$ con $23$, o $1$ e $3$ con $7$ y, a continuación, $2$, $7$ con $23$o $2$, $3$ con $11$ e $1$, $11$ con $23$ así que podemos ver que no importa cual de los dos números que elija, el promedio de número sigue siendo el mismo. ¿Conduce esto nos lleva a ninguna parte?

Answer 1

Reclamo: si $a_1,...,a_n$ son $n$ números en la mesa, después de n pasos, nos quedaremos con $(1+a_1)...(1+a_n)-1$.

Prueba: inducir a los en $n$. Caso $n=1$ es cierto, así que supongamos que la proposición es válida para un fijo $n$ y cualquier $a_1$,...$a_n$. Considere ahora $n+1$ números de $a_1$,...,$a_{n+1}$. Supongamos que en el primer paso elegimos $a_1$ e $a_2$. Nos quedará $n$ números de $b_1=a_1+a_2+a_1a_2$, $b_2=a_3$,...,$b_n=a_{n+1}$, por lo que por la hipótesis de inducción al final nos quedaremos con $(b_1+1)...(b_n+1)-1=(a_1+1)...(a_{n+1}+1)-1$ según sea necesario, debido a que $b_1+1=a_1+a_2+a_1a_2+1=(a_1+1)(a_2+1)$

Donde consigo la idea de la prueba? Supongo que desde n=2 caso: para $a_1,a_2$ se queda con $a_1+a_2+a_1a_2=(1+a_1)(1+a_2)-1$ y también he tomado nota de esta fórmula se generaliza para $n=3$

Así que en su caso nos quedaremos con $156!-1=1\times 2\times...\times 156 -1$

Answer 2

Otra forma de pensar de Sorin de la observación, sin recurrir a la inducción de forma explícita:

Supongamos que el número original (el original 155 números y los resultados posteriores) están escritas en blanco tiza. Ahora encima de cada blanco número de escritura que número más uno, en rojo tiza. Escribir nuevo rojo compañeros para que cada nuevo número blanco, y borrar los números rojos cuando su blanco socios de desaparecer.

Cuando borramos $x$ e $y$ y escribir $x+y+xy$, el nuevo número rojo es $x+y+xy+1=(x+1)(y+1)$, exactamente el producto de los dos red compañeros estamos borrando.

Así podemos reformular todo el juego como:

Escribir en rojo los números de $2$ a $156$. Mantener el borrado de dos números y la escritura de su producto en lugar de otro. Al final, cuando usted tiene un número rojo a la izquierda, restar uno y escribe el resultado en blanco.

Puesto que el orden de los factores es inmaterial, el resultado debe ser $2\cdot 3\cdots 156-1$.