Encuentre un subconjunto cerrado de un grupo algebraico, cerrado bajo productos, que no contenga$e$.

Question

La aceptación de respuesta para esta pregunta demuestra la siguiente declaración:

Si $S$ es un subconjunto cerrado de un algebraica de grupo $G$ que contiene $e$ y es cerrado bajo de tomar productos en $G$, $S$ es un subgrupo.

Me interesaría ver un ejemplo de un subconjunto cerrado de un algebraica de grupo $G$ que es cerrado bajo de los productos, pero ¿ no contener $e$. Gracias!

Answer 1

Creo que esto no es posible, excepto para el conjunto vacío. Creo que el argumento utilizado en la pregunta que usted enlaza en realidad no se usa ni la hipótesis de que la $e\in S$. Usted puede también razón de la siguiente manera.

Considere un conjunto $S_0$ con las propiedades que sugieren y es no vacío. $\{e\}$ es cerrado (debido a la topología de Zariski es $T_1$), do $S=S_0\cup \{e\}$ es cerrado (como la unión de dos conjuntos cerrados), cerrado en productos (claramente) y contiene $e$, por lo que por el citado hecho de que es un subgrupo. Pero eso implica que $S_0=S_0^{-1}$, y dado que es no vacío y cerrado, en productos, $e\in S_0$.