Dividimos un avión ($\mathbb{R}^2$) en infinito número de regiones, cada una de área igual a $1$. Podemos utilizar solamente (unidimensional) de las curvas que se pueden encontrar en los puntos.
Fijar un punto de $p$ en un avión y considerar los círculos con centro en el punto de $p$ y radio de $r$. Deje $N(r)$ el número de regiones en el interior del círculo y $L(r)$ de la longitud total de todas las curvas en el interior de este círculo.
¿Qué es mejor disposición posible de curvas si queremos minimizar $$\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{L(r)}{N(r)}.$$
Supongo que las curvas deben ser los bordes de hexágonos, es decir, se debe formar la estructura de nido de abeja. En ese caso $\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{L(r)}{N(r)}=\frac{4}{\sqrt[4]{27}}$ debido a que en promedio, se necesitan para dibujar $4$ nuevas aristas de la hexagonal para crear cada nueva región y la longitud del borde de hexágono que tiene un volumen de $1$$1/\sqrt[4]{27}$.
De hecho, si asumimos que todas las regiones tienen que ser de la misma forma, a continuación, las únicas opciones posibles son: triangular, cuadrada o hexagonal de celosía. Es fácil mostrar que celosía hexagonal es la mejor. Pero las regiones que realmente tiene que tener todos la misma forma?
Esto es probablemente un problema estándar. De hecho, fue resuelto por las abejas hace mucho tiempo, pero encontrar la solución óptima?
