Cómo demostrar que $|\text{d}(x,y)-\text{d}(y,z) |\leq \text{d}(x,z)$ para algún espacio métrico $X$ para todos los elementos $x,y,z \in X$

Question

Cómo demostrar que $|\text{d}(x,y)-\text{d}(y,z) |\leq \text{d}(x,z)$ para algún espacio métrico $(X,d)$ para todos los elementos $x,y,z \in X$

Hasta ahora he

$\text{d}(x,y)\leq \text{d}(x,z)+\text{d}(z,y)$ $\implies$ $\text{d}(x,y)-\text{d}(y,z) \leq \text{d}(x,z)$

Así que si $\text{d}(x,y)-\text{d}(y,z) \geq 0$ entonces es igual a su propio módulo y hemos terminado.

Pero no estoy seguro de cómo manejar el caso $\text{d}(x,y)-\text{d}(y,z) < 0$ .

¿Ayuda?

Answer 1

$d(x,y)d(y,z)<0 \le d(x,z)$

Answer 2

$d(y,z)\leq d(y,x) + d(x,z)\implies d(y,z)-d(x,y)\leq d(x,z)$ así que tienes ambos lados.