Para la función integrable lebesgue$f$, muestre que existe una secuencia$\{x_n\} \rightarrow \infty $ tal que$x_n| f(x_n) | \rightarrow 0$

Question

Como en el título, $f$ es cualquier función integrable, y queremos demostrar que no existe $x_n \rightarrow \infty$ $n \rightarrow \infty$ con la propiedad deseada. Hasta ahora me imagino que es fácil encontrar a $x_n$ aumentando lentamente suficiente de que las colas de $|f(x_n)|$ va a ir a cero más rápido que $x_n$ diverge como $n \rightarrow \infty$. Sin embargo, no es cierto que todas las funciones integrables caer a cero, como yo he llegado a través de algunos ejemplos en contra de eso. Quiero usar algunas de las consecuencias de la integrabilidad de $f$ pero no he encontrado la forma correcta de aplicarlos.

Pensé también en la elección de algunas lentamente divergentes $x_n$ como $\log(n)$, y suponiendo que el $x_n |f(x_n)|$ no converge a cero con el fin de obtener alguna contradicción de $f$ ser integrable.

Cualquier sugerencias o instrucciones son muy apreciadas!

Answer 1

La afirmación es equivalente a

$$\liminf_{x \to \infty} \big( x |f(x)|\big) =0. \tag{1}$$

Podemos demostrar por contradicción que $(1)$ mantiene para cualquier Lebesgue integrable función de $f$. Supongamos que $(1)$ ¿ no cierto, entonces podemos encontrar $c>0$ $R>0$ tal que

$$x |f(x)| \geq c \quad \text{for all $x \geq R$}.$$

Por lo tanto,

$$\int_{x \geq R} |f(x)| \, \lambda(dx) \geq c \int_{x \geq R} \frac{1}{x} \, \lambda(dx) = \infty$$

en contradicción con nuestra hipótesis de que $f$ es integrable.

Observación: La prueba de realidad muestra que

$$\liminf_{x \to \infty}\big( h(x) |f(x)| \big) = 0$$

para cualquier Lebesgue integrable función de $f$ y cualquier función de $h: \mathbb{R} \to (0,\infty)$ tal que

$$\int_{x \geq 1} \frac{1}{h(x)} \, \lambda(dx)=\infty,$$

por ejemplo,$h(x) := x |\log x|$.