Muestran que

Question

Mostrar que$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^4-2x+1}{x-1} + \sqrt{x} =3$ de la definición (usando$\epsilon-\delta$)

¿Por qué no puedo hacer algo como esto?

Queremos:

$|\frac{x^4-2x+1}{x-1} + \sqrt{x}-3| = |\frac{x^4-2x+1}{x-1} + \frac{x-9}{\sqrt{x}+3}| \le |\frac{x^4-2x+1}{x-1}| + |\frac{x-9}{\sqrt{x}+3}| \le |x^3+x^2+x-1| + |x-9| \le |x|^3 + |x|^2+|x-1| + |x-9| < \epsilon$

Ahora supongamos$|x-1| < 1$, luego$|x|\le 2$ y$|x-9| \le 9$, entonces

PS

Ahora toma$$|x|^3 + |x|^2+|x-1| + |x-9| < 2^3+2^2+9+|x-1| < \epsilon$.

Pero esto claramente está mal porque$\delta = \min\{1, \epsilon -21\}$ necesita ser positivo por cada$\delta$, ¿qué parte de mi trabajo es incorrecta? (Sé cómo obtener la respuesta correctamente, solo me pregunto por qué esta forma es incorrecta, soy bastante nuevo en$\epsilon>0$ pruebas)

Answer 1

Salió de la pista cuando introdujo el término$$\left|\frac{x-9}{\sqrt x+3}\right|\ .$ $ Como$x\to1$, este término tenderá a$2$ y, por lo tanto, no se puede hacer arbitrariamente pequeño. Algo parecido a $$ \ eqalign {\ left | \ frac {x ^ 4-2x +1} {x-1} + \ sqrt {x} -3 \ right | & \ le \ left | \ frac {x ^ 4-2x +1} {x-1} -2 \ right | + \ left | \ sqrt {x} -1 \ right | \ cr & = \ left | x- 1 \ right | \ left | x ^ 2 +2x +3 \ right | + \ left | \ frac {x-1} {\ sqrt x +1} \ right | \ cr} $$ tendría más posibilidades de trabajar .

Answer 2

Nota : esta respuesta se publicó antes de que se especificara la condición de usar la definición con$(\epsilon-\delta)$.

Factorice$x^4-2x+1$, para eliminar la singularidad en el denominador: \begin{aligned} \lim_{x\to1}\frac{x^4-2x+1}{x-1} + \sqrt{x} & = \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^3+x^2+x-1)}{x-1} + \sqrt{x} = \\ & = \lim_{x\to1}(x^3+x^2+x-1) + \sqrt{x} = \\ & = 3 \end {alineado}

Answer 3

Podemos usar la Regla de L'Hôpitals aquí. Dice que si$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$,$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Por lo tanto:

PS