Estoy ayudando a mi hermano con el álgebra Lineal . Yo no soy capaz de motivarlo para entender lo doble doble de espacio . Hay una buena manera de explicar el concepto ? Gracias por ur consejos , ejemplos y teorías.
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celtschk
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En realidad es bastante simple: Si usted tiene un espacio vectorial, cualquier espacio vectorial, se pueden definir funciones lineales en ese espacio. El conjunto de todas las funciones es el espacio dual del espacio vectorial. El punto importante aquí es que no importa lo que este original espacio vectorial es. Usted tiene un espacio vectorial $V$, tiene un correspondiente dual $V^*$.
OK, ahora usted tiene funciones lineales. Ahora si que agregar dos funciones lineales, se obtiene de nuevo una función lineal. También si se multiplica una función lineal con un factor, se obtiene de nuevo una función lineal. De hecho, se puede comprobar que las funciones lineales cumplir con todos los espacio vectorial axiomas de esta manera. O, en pocas palabras, el espacio dual es un espacio vectorial en su propio derecho.
Pero si $V^*$ es un espacio vectorial, entonces viene con todo lo que un espacio vectorial viene con. Pero, como hemos visto al principio, una cosa cada espacio vectorial viene con el doble de espacio, el espacio de todas las funciones lineales. Por lo tanto, también el espacio dual $V^*$ correspondiente al espacio dual, $V^{**}$, lo que se llama doble doble de espacio (porque "el espacio dual del espacio dual" es un poco largo).
Así que tenemos el doble de espacio, pero también queremos saber qué tipo de funciones son en ese doble doble de espacio. Así, una función que toma un vector de $V^*$, es decir, una función lineal en $V$, y los mapas que por un escalar (es decir, a un miembro de la esfera del espacio vectorial se basa en). Ahora, si usted tiene una función lineal en $V$, usted ya sabe una manera de conseguir un escalar de que: Sólo se aplica a un vector de $V$. De hecho, no es difícil mostrar que si usted acaba de elegir cualquier elemento fijo $v\in V$, entonces la función de $F_v\colon\phi\mapsto\phi(v)$, de hecho es una función lineal en $V^*$, y por lo tanto un miembro de la doble doble de la $V^{**}$. De esa manera, no sólo hemos identificado algunos de los miembros de $V^{**}$, pero además un natural de asignación de$V$$V^{**}$, es decir,$F\colon v\mapsto F_v$. No es difícil demostrar que esta asignación es lineal e inyectiva, por lo que las funciones en $V^{**}$ correspondiente a los vectores en $V$ forma un subespacio de $V^{**}$. De hecho, si $V$ es finito dimensional, incluso todos los de $V^{**}$. Eso es fácil de ver si usted sabe que $\dim(V^*)=\dim{V}$ y, por tanto,$\dim(V^{**})=\dim{V^*}=\dim{V}$. Por otro lado, desde la $F$ es inyectiva, $\dim(F(V))=\dim(V)$. Sin embargo, para finito dimensionales espacios vectoriales, el único subespacio de la misma dimensión que la totalidad del espacio es la totalidad del espacio mismo. Sin embargo, si $V$ es de infinitas dimensiones, $V^{**}$ es mayor que $V$. En otras palabras, hay funciones en $V^{**}$ que no son de la forma$F_v$$v\in V$.
Tenga en cuenta que desde $V^{**}$ nuevo es un espacio vectorial, que también tiene un doble espacio, que a su vez tiene un doble espacio, y así sucesivamente. Así que, en principio, usted tiene una serie infinita de duales (aunque sólo para los infinitos espacios vectoriales son todos diferentes).
