Demostrar que $\sum_{n=2}^\infty (\ln n)^{- \ln n}$ converge

Question

Como el título sugiere, me gustaría demostrar que la suma $$ \sum_{n=2}^\infty (\ln n)^{- \ln n} $$ es finito. La prueba de la raíz y de la proporción fallan aquí, pero WA sugiere que hay una comparación que puede utilizarse para mostrar la convergencia.

La única idea que se me ocurre es que puede ser útil escribir los términos como $e^{-\ln(n)\ln(\ln(n))}$ pero esto no me ha llevado a ninguna visión particular. Se agradece cualquier idea.

Answer 1

Bueno,

$$e^{-(\log n)(\log \log n)} = n^{-\log \log n} < n^{-2}$$

para $n > e^{e^2}$ . Así que una comparación con $\sum \frac{1}{n^2}$ muestra la convergencia.

Answer 2

Existe un teorema según el cual para una serie decreciente $\sum a_n$ converge si y sólo si $\sum 2^k a_{2^k}$ converge. Aplicando eso en este caso da, donde asumo que el logaritmo es base $2$ sólo para facilitarme la vida, $$\sum \left(\frac{2}{k}\right)^k$$ y se ve fácilmente que converge por raíz o razón.

Answer 3

Para un tamaño suficientemente grande $n$ , uno tiene $\ln n > e^2$ para que $(\ln n)^{-\ln n} < e^{-2\ln n} = {1 \over n^2}$ .

Answer 4

Una pista: Puede utilizar Prueba de condensación de Cauchy .