Teorema del estabilizador de la órbita para demostrar una desigualdad del conjunto cociente

Question

¿Hay alguna manera de aplicar la fórmula del estabilizador de la órbita para concluir que para $H,K \leq G$ entonces $[G: H\cap K]\leq [G:H][G:K]$ ?

La desigualdad no es demasiado difícil de ver, simplemente tomando el mapa de $g/(H\cap K)\to G/H\times G/K$ definido como $$ g(H\cap K)\mapsto (gH,gK) $$ que está bien definida y es inyectiva. Quiero saber si existe algún tipo de argumento combinatorio utilizando las órbitas y los estabilizadores bajo una acción de grupo de algún tipo. Saludos.

Answer 1

Basta con demostrar que $[H:H\cap K]\leq [G:K]$ . Para ello, dejemos que $H$ actúan sobre el conjunto de cosetas izquierdas de $K$ en $G$ por multiplicación por la izquierda, y considerar la órbita de $K$ . El estabilizador de $K$ en el marco de esta acción es $H\cap K$ Por lo tanto, el número de elementos en la órbita es $[H:H\cap K]$ . Dado que la órbita de $K$ bajo esta acción está contenida en la órbita de $K$ bajo la acción de $G$ (que es transitiva), concluimos que $[H:H\cap K]$ (el tamaño de la órbita de $K$ bajo la acción de $H$ ) es menor o igual que $[G:K]$ (el tamaño de la órbita de $K$ bajo la acción de $G$ ).

Ahora tienes $[G:H\cap K] = [G:H][H:H\cap K] \leq [G:H][G:K]$ , según se desee.

Nótese que esta desigualdad se mantiene en cardinalidad, por lo que ni siquiera necesitamos que los índices sean finitos.