¿Qué podemos decir acerca de una secuencia de funciones medibles en un espacio de medida finito tal que$\sup_n \int_X |f_n(x)|^2 d\mu < \infty$?

Question

Encontré esto en un examen de clasificación, y creo que me ayudará a entender $L^p$ espacios mejor.

Que $f_n$ sea una secuencia de función medible en un espacio de medida finita. Supongamos que $$\sup_n \int_X |f_n(x)|^2 d\mu

(1) $\int_X |f(x)|^2 d\mu

(2) $ \int_X |f(x)| d\mu

(3) $\lim_{n\to\infty} \int_X |f_n(x) - f(x)|^2 d\mu = 0$

(4) $\lim_{n\to\infty} \int_X |f_n(x) - f(x)| d\mu = 0$

Answer 1

1. Es cierto que por una aplicación de Fatou del lema a $\{|f_n|^2\}$, una secuencia de no negativo funciones medibles.

2. Es cierto que por Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz desigualdad (y el hecho de que en la medida que el espacio es finito).

3. Tome $f_n(x):=\sqrt n \chi_{(0,n^{-1})}(x)$$[0,1]$; a continuación,$\int_{[0,1]}|f_n|^2dx=1$, e $f_n\to 0$ en casi todas partes.

4. Es cierto: aplicar Egoroff y teorema de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz desigualdad. Podemos suponer que $f=0$ (de lo contrario, consideramos que $g_n:=f_n-f$ en lugar de $f_n$, que es integrable y $g_n\to 0$ pointwise). Fix $\varepsilon>0$. A continuación, podemos encontrar $C$ medible tal que $\sup_{x\in C}|f_n(x)|\to 0$$\mu(X\setminus C)\lt \varepsilon$. Tenemos $$\int_X|f_n(x)|d\mu(x)\leqslant \mu(X)\sup_{x\in C}|f_n(x)|+\sqrt{\varepsilon}\sqrt{\int_X |f_n|^2}d\mu,$$ por lo $$\limsup_{n\to+\infty}\int_X|f_n(x)|d\mu(x)\leqslant \sqrt \varepsilon\sup_{k\in\Bbb N}\sqrt{\int_X |f_k|^2}d\mu.$$