Un rompecabezas en la maximización de un valor esperado

Question

Tienes 10 peniques y 10 dólares. Cómo distribuirlos en dos botellas idénticas de modo que se maximice el valor esperado de la moneda elegida al azar de una de las botellas (la botella también se elige al azar)?

Me preguntaron esto durante una entrevista, y dije que si pones 1 dólar en una botella y el resto de las 19 monedas en la otra botella esta sería la estrategia maximizadora , pero quiero saber si esta es la respuesta correcta

Answer 1

Su respuesta es correcta.

Este problema puede resolverse escribiendo una ecuación para el valor esperado y optimizándola. Pero hay una manera más fácil.

Cuando el Grupo de Resolución de Problemas del Haverford College debatió este problema a principios de otoño, encontró la siguiente solución en dos pasos.

Considere el más pequeño de los dos total número de monedas en las dos botellas. Si en la botella correspondiente hay algún céntimo, en la otra debe haber algún dólar. Tus expectativas aumentan -sin cambiar el número total de monedas de cada botella- si cambias un céntimo de la botella más pequeña por un dólar de la botella más grande, porque has aumentado el valor de la botella más pequeña en 99 céntimos y has disminuido el valor de la botella grande en 99 céntimos, pero los 99 céntimos de la botella más pequeña valen más porque son una proporción mayor del número de monedas de la botella. La repetición de estos intercambios durante el mayor tiempo posible demuestra que un óptimo debe tener todos los dólares, y ningún centavo, en una botella. (Tienes que descartar la posibilidad de que una solución óptima tenga el mismo número de monedas en cada botella. Eso es fácil de hacer después de haber encontrado el óptimo, que es el siguiente paso).

Partiendo de cualquier configuración de este tipo (con la primera botella conteniendo sólo dólares), mover un dólar de la primera botella a la segunda obviamente no cambiará el valor esperado de la primera (¡siempre que se deje al menos un dólar en ella!) y aumentará el valor esperado de la segunda, porque su proporción de dólares aumenta. Por lo tanto, el valor esperado del juego aumentará cada vez que haga esto hasta que sólo quede un dólar en la primera botella. Es fácil comprobar que sacar ese último dólar, de modo que no quede dinero en la primera botella, no es óptimo. Por lo tanto, la configuración de un dólar en una botella es la óptima. único La mejor.