Transformación no lineal de PDE a sistema de EDO.

Question

Cómo puedo transformar este PDE al sistema de ODE$$a^2 u_{tt}-u_{xx}+ u \cdot u_x = 0$ $

Intento usar la siguiente transformación$p=u_{t}$ y$q=u_{x}$ para que la ecuación sea$p_{t}- (1/ a^2)*q_{x} + (1/ a^2)*u*q = 0$ mi pregunta ahora cómo puedo cambiar el$u$ en el último término, y cuál es el sistema ordinario ecuación para el problema original?

Answer 1

Una pde de segundo orden no suele ser equivalente a un sistema de odas. Pero si solo quieres encontrar algunas soluciones usando una oda, puedes buscar las ondas viajeras$u(x,t)=f(x-ct)$. Sustituyendo, necesitas$a^2c^2f''-f''+ff'=0$. Entonces, tome$c$ para ser cualquier velocidad que no sea$1/a$. Integrar una vez para obtener$(a^2c^2-1)f'+\frac{1}{2}f^2 = $ constante. Eso te deja con una oda de 1er orden.