¿Que manera de calcular esta probabilidad es correcta?

Question

Hay una urna que contiene $N$ bolas. Cada bola puede ser blanco o azul. No sé cuántas bolas blancas en la urna, pero a mi antes es que es una bola azul con una probabilidad de $b$. Alguien se itera a través de las bolas de color azul y, para cada bola de forma independiente, ya sea para mostrar a mi, con una probabilidad de $p$, o puede que no. ¿Cuál es la probabilidad de que se me muestre $v$ pelotas?

Solución 1: $Pr=\sum\limits_{i=0}^{N}{N\choose i}b^{i}(1-b)^{N-i}{i\choose v}p^{v}(1-p)^{i-v}.$

Solución 2: $Pr={N \choose v}(bp)^v(1-bp)^{N-v}.$

Me gustaría que la segunda es la correcta, pero debe ser malo. Por qué?

Answer 1

Las fórmulas son equivalentes:

$$\sum\limits {i=v}^{N}{N \choose i}b^{i}(1-b)^{N-i}{i \choose v}p^{v}(1-p)^{i-v}=\binom{N}{v}\left(bp\right)^{v}\sum\limits {i=0}^{N-v}\binom{N-v}{i}(b-bp)^{i}(1-b)^{N-v-i}=\binom{N}{v}\left(bp\right)^{v}\left(1-bp\right)^{N-v}$$

Answer 2

Entiendo por qué la solución de (1) es correcta. Tal vez usted podría dar a su argumento para la fórmula (2) para que podamos ver donde el razonamiento es equivocado (otra posibilidad es que (1) y (2) son siempre iguales por algunos combinatoria argumento -- no me dan de que cualquier pensamiento aún EDIT: son equivalentes, ver respuesta anterior).

En cualquier caso, por ahora vamos a demostrar (1). Para cada una de las $i$$0 \leq i \leq n$, supongamos que hay, en realidad, $i$ azul bolas en la bandeja. Vamos a calcular las probabilidades en cada uno de estos escenarios (lo llaman "escenario de $i$") y sumarlos.

Primero de todo, ¿cuál es la probabilidad de que estamos en el escenario $i$, debido a que antes de que la probabilidad de que una bola azul es $b$? Es ${N \choose i}b^i(1-b)^{N-i}$.

Ahora bien, dado que estamos en el escenario $i$, ¿cuál es la probabilidad de que se vea en $v$ bolas de color azul? Es ${i \choose v}p^v(1-p)^{i-v}$.

Desde los escenarios de $i$ son distintos el uno del otro como $i$ varía, recuperamos la fórmula (1).