Los datos dados$(y_1, ..., y_n)$ y cada$y_i \in \mathbb{R}^p$, y$V$ es una matriz$p \times q$ con$q$ vectores de unidades ortogonales como columnas. ¿Cómo puedo diferenciar lo siguiente? Y cual es la solución ?
PS
Respuesta
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user126154
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Esto no es un completo anwer pero puede ayudar. (Es más que una reformulación de una respuesta, pero era demasiado largo para un comentario)
Brevemente, el mínimo solicitado es la suma de los primeros a $p-q$ autovalores de la matriz $YY^T$ (ver abajo)
Desde las columnas de a $V$ forma un ortonormales sistema, el vector $VV^Ty$ es sólo el componente de $y$ a lo largo del espacio generado por las columnas de a $V$.
Si sigue ese $y-VV^Ty$ es la proyección de $y$ a la ortogonal de las columnas de a $V$.
Como corolario obtenemos inmediatamente que si $p=q$, entonces la requestet mínimo es siempre cero.
En general, si denotamos por a $y^W$ la proyección ortogonal de a $y$ durante un espacio de $W$, $||y-VV^Ty||=||y^W||$ donde $W$ es el ortogonal de las columnas de a $V$. En particular $$\min_V=\sum_i||y_i-VV^Ty_i||^2=\min_W\sum_i||y_i^W||^2$$ donde ahora el mínimo se toma sobre todos los espacios de $W$ de la dimensión de $p-q$. Si $w_i,\dots,w_{p-q}$ es una base ortonormales de $W$ hemos $$||y^W||^2=\sum_j\langle y,w_j\rangle^2=\sum_j\langle y\langle y,w_j\rangle,w_j\rangle$$
Si denotamos por a $Y$ la matriz que tiene por columnas los vectores $y_i$ tenemos que $$YY^Tw_j=\sum_iy_i\langle y_i,w_j\rangle$$ por lo tanto $$\sum_i||y_i^W||^2=\sum_{i,j}\langle y_i\langle y_i,w_j\rangle,w_j\rangle=\sum_j\langle\sum_i y_i\langle y_i,w_j\rangle,w_j\rangle=\sum_j\langle YY^Tw_j,w_j\rangle$$
En conclusión, la requestet mínimo es igual a $$\min_{w_1,\dots,w_{p-q}}\sum_j\langle Aw_j,w_j\rangle$$
Donde $A=YY^T$ y el mínimo se toma sobre todas las opciones de $p-q$ ortonormales de vectores. Desde $A$ es simétrica, se puede diagonalyzed por un ortonormales. (Nota alson que la condición de $A=YY^T$ implica que los autovalores de a $A$ son positivos como $\langle Ax,x\rangle=\langle Y^Tx,Y^Tx\rangle$)
Si denotamos por a $\lambda_1\leq\lambda_2\leq\dots\leq\lambda_p$ los autovalores de a $A$, el requestet mínimo es de sólo $$\lambda_1+\dots+\lambda_{p-q}$$ es decir, la suma de los primeros a $p-q$ autovalores de a $A=YY^T$
Así que la respuesta original se traduce como "¿cómo podemos diferenciar los autovalores de una matriz de la forma $YY^T$ con respecto a los componentes de $Y$?"
