Convergente o divergente:$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}\cdot k!}{k^{k}}$

Question

Convergente, absolutamente convergente o divergente: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}\cdot k!}{k^{k}}$$

He usado la prueba de razón de porque tenemos una fracción aquí y creo que lo hice bien hasta el final:

$$\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\frac{2^{k+1}\cdot (k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{2^{k}\cdot k!}{k^{k}}} = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{2^{k+1}\cdot (k+1)! \cdot k^{k}}{(k+1)^{k+1}\cdot 2^{k}\cdot k!} = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{2^{k}\cdot 2^1\cdot k! \cdot (k+1)\cdot k^{k}}{(k+1)^{k}\cdot (k+1)\cdot 2^{k}\cdot k!} = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{2k^{k}}{(k+1)^{k}}$$ $$=2\lim_{k\rightarrow \infty} \left( \frac{k}{k+1}\right)^{k}$$

Ahora no sé (sin calculadora) a lo que esto converge / divergen a... En el examen no se permite el uso de una calculadora... Entonces, ¿qué hacer?

El denominador será mayor que el enumerador 1, por lo que dividiendo cada uno de los otros tenemos algo $<1$. Tomamos exponente $k$$\geq 1$, así que vamos a terminar con $<1$ nuevo. Multiplicar esta con 2 obtenemos algo $< 1$ pero $> 0$ y por lo tanto la serie es convergente...?

Espero que os he descrito así? ¿Me puedes dar todos los puntos para esta tarea? :D

Edit: no la he descrito bien en el final. Ver la aceptación respuesta y sus comentarios! Muchas gracias a todos, de cada pregunta que hago aquí, siempre aprendo cosas nuevas :-)

Answer 1

Insinuación:

Usa ese$$\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=e$ $

Entonces,$$2\lim_{k\to\infty}\left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\frac{2}{e}\lt1$ $

Answer 2

Observar \begin{align} \lim_{k\rightarrow \infty}\left(\frac{k}{k+1} \right)^k = \lim_{k \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{k+1} \right)^{k+1}\left( 1-\frac{1}{k+1}\right)^{-1} = e^{-1}. \end {align}