Estoy tratando de entender por qué si $ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} = f(x) $ entonces $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_{p+nq} x^{p+nq} = \frac{1}{q} \sum_{j=0}^{q-1} \omega^{-jp} f(\omega^{j} x)$$ donde $\omega$ es una primitiva $q$ -enésima raíz de la unidad.
Supongo que tiene algo que ver con la $q$ -raíces de la unidad que suman cero.
Se utiliza en una demostración del teorema digamma de Gauss.
En la parte derecha de su expresión, sustituya $f(\omega^j x)$ por $\sum_{k=0}^{\infty} a_k \omega^{jk}x^k $ .
Usted recibirá : $$\frac{1}{q}\sum_{j=0}^{q-1} \omega^{-jp}\sum_{k} a_k x^k \omega^{jk}$$
Intervirtiendo las sumas (formalmente al menos hay que justificarlo : véase el comentario de Jyrki Lahtonen) se obtiene : $$\sum_{k} a_k x^k \frac{1}{q}\sum_{j=0}^{q-1} \omega^{j(k-p)}$$
Y luego puedes utilizar el resultado al que te refieres para obtener el lado izquierdo :
Si $(k-p)=nq$ : $\sum_{j=0}^{q-1} \omega^{jnq} =\sum_{j=0}^{q-1} (\omega^q)^{jn}= q$ ( $\omega$ es un $q$ -th raíz supongo ?) De lo contrario $(k-p)=nq+r$ ( $0< r<q$ ) y $$\sum_{j=0}^{q-1} \omega^{j(k-p)}=\sum_{j=0}^{q-1} \omega^{jnq+jr}=\sum_{j=0}^{q-1} \omega^{jr}=0$$
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