Derivación vs prueba

Question

Me imagino que Ramanujan y muchos otros talentosos matemáticos, los resultados logrados por derivación, lo que significa que siguieron un sendero que conducía a un resultado, entonces lo demostró más tarde en todo caso. Es esto así y si es así, ¿por qué no son derivaciones hincapié en la educación en lugar de las pruebas? Me parece el enunciado de un teorema sin contexto y sin relevancia (rodamiento, la preocupación, objetivo) y sin origen, a ser incomprensible. Es sólo conmigo? ¿Es la gente que parecen absorber como esponjas tienen algún mecanismo especial que me falta? Creo recordar que la lectura que cuando Newton fue criticado por no mostrar cómo llegó a sus conclusiones, él dijo que cuando su edificio está terminado, él toma el andamio. No la obtención de un resultado revelar su incidencia? Raramente encontramos que una prueba.

Gracias,

Answer 1

Sé que esto es una antigua cuestión, pero dado que no hay respuestas, déjeme darle un tiro. Como una exención de responsabilidad, este es un lugar filosófico (o suave, si usted puede) respuesta, que creo que es justificado por la que la pregunta es una suave.

Lo primero es lo primero, creo que llamar "siguiendo un sendero que conducía a un resultado" una "derivación" es engañoso: la palabra "derivación" algo tiene una connotación de una construcción, o de tomar explícita pasos para encontrar alguna que otra cosa de una cosa. Así que en lugar de que nos llame a lo que ustedes llaman una "derivación" de "intuición". Por supuesto, una mejor manera de ir sobre esto no es para el uso de tales problemáticas palabras y hacer uso de un espectro que incluye la filosofía, las matemáticas y la física (y, muy posiblemente, a otras disciplinas también, pero esta idea es todo tan complicado de escribir por ahora) (En el caso de que yo consideraría más cerca de la física, por ejemplo, mientras que yo soy más hacia la filosofía, y estoy considerando el espectro a ser algo de naturaleza lineal, que es injustificada). De hecho, como usted ha dicho, a menudo la intuición viene antes de hormigón pruebas en matemáticas: uno se asegura de que algo tiene que ser el caso, y, a continuación, intenta probarlo. Esto se observa más en las fronteras del conocimiento matemático, para el no hay niza caminos de a pie; sólo fangoso (y a menudo oscuro) para esquí de fondo.

Después, hay que determinar qué tipo de educación están hablando. Por su interés para hacer sentido, creo que debemos restringir la educación a la educación dada por una institución: colegios, liceos, etc.. por Lo que hacemos caso omiso de todos los auto-estudios, donde uno es básicamente por sí mismo. Por una razón similar, también caso omiso de post-exámenes de calificación en el posgrado de la vida. Con esta restricción, ya puedo hablar de mi comprensión del tema.

He tomado cursos de matemáticos con diferentes concepciones de cómo un curso debe ser pensado, por ejemplo, uno haciendo cada prueba y lanzamiento en el contexto histórico, cada de vez en cuando, otro sin dar pruebas, pero sólo bocetos o ideas de pruebas a lo más, otra sobre todo la demostración de teoremas en los ejemplos, etc.. Pero en ninguna de mis estudios he visto que la intuición y el rigor que van de la mano, y eso es lo que hace que las matemáticas tanto muy estricta y muy flexible: de lo contrario, todo es trivial, o "puede ser visto desde la imagen" (como sucede en la geometría), o de lo contrario se pierde la pista de qué tipo de objetos que está trabajando (como ocurre en el análisis). Por supuesto, estos son extremas (y en mayor medida falsa, por consiguiente) declaraciones, pero en un "nivel sentimental" tienen algo de verdad en ellas. Mientras hay interacción humana, creo que la intuición es nunca la izquierda detrás en la comunicación de las matemáticas, aunque si se aclare tal vez puedo modificar mi respuesta.

Que deja una última cosa para ser explicada, es decir, escrito matemáticas. De nuevo, a partir de mis experiencias, matemáticas dirigido a un público general, o expositiva matemáticas generalmente se hace énfasis en la intuición, de modo que las hojas de los libros de texto de matemáticas para la [candidato] matemáticos, donde todo tiene el potencial de parecer críptico e incomprensible: out of the blue resultados, sin ningún tipo de motivación proporcionada por el lector que es algo crucial para aprender acerca de ellos. Pero aquí, de nuevo, la respuesta radica en darse cuenta de que por escrito matemáticas espera mucho de su lector, hasta que el lector ha interiorizado lo que se ha escrito, que es. A menudo, tal vez, posiblemente debido a la conciso carácter de un matemático de la secuencia de comandos de la motivación, el contexto y la intuición es embalado en una nota de pie de página; o en una parte puede carecer por completo. En cualquier caso, matemático de la escritura espera usted para desarrollar su propia intuición (y ver que los resultados, cuando se ordenó que de manera particular (que puede no ser la única), hace un muy buen camino a seguir (aunque fangoso y oscuro que puede ser)). Una cita de Gilbert Ryle, de su libro El Concepto de la Mente, resume mi punto bastante bien creo:

"Euclides y sus Elementos no son ni un sellado, ni un libro para el colegio." (p. 56, de la University of Chicago Press)

Huelga decir que, como soy una persona que tiene mucho que decir acerca de esto, usted no está solo. Yo no sé acerca de ellos amigos, pero yo desde luego no tiene tal facultad especial (aunque no se siente así cuando estoy leyendo algo sobre lo que ya he interiorizado, que creo que le pasa a todos). Estás en lo correcto en el recuerdo de los que Newton fue criticado. Uno de los críticos de él era Obispo Berkeley, y su crítica fue acerca de los fundamentos de Newton del cálculo. No he leído ninguna de la obra de Newton, ni la crítica de Berkeley, pero incluso el título dice mucho: "El Analista: UN DISCURSO Dirigido a un MATEMÁTICO Infiel. EN la Que se examinó si el Objeto, Principios, y las Inferencias del Análisis moderno son más claramente concebido, o de forma más evidente deducir, que los Misterios Religiosos y Puntos de Fe". Si mi memoria no sirve de derecho, la crítica fue cómo se podría utilizar una cantidad muy pequeña, pero no cero como cero en algún lugar y como distinto de cero en otro lugar. Este problema, por supuesto, tomó un tiempo para ser resuelto, es decir. un avance rápido hasta la (precisa) definición de un límite. Por último, de hecho, una prueba pueden no proporcionar una comprensión para el lector, pero sin ella, todo lo que queda son las cosas que queremos que sea cierto muy, muy fuertemente.

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EDIT: yo sólo he encontrado una muy énfasis explícito en la intuición de Spivak es Una Completa Introducción a la Geometría Diferencial, Vol. 1. En la p. 84 dice:

"La tangente paquete es el verdadero comienzo del estudio de la diferenciable colectores, y usted no debe leer un poco más, hasta que grok.*"

Y la nota de pie de página el asterisco conduce a lee como sigue:

"[...] [La palabra "grok"s] sentido está muy bien comunicada en El American Heritage Dictionary: "Para entender profundamente a través de la intuición o de la empatía"."

Answer 2

Puedo decir que es bastante cierto que cuando la gente (como Ramanujan a sí mismo), no tiene una adecuada estudioso de fondo, pueden tener una tendencia a obtener un resultado, digamos "empíricamente". Incluso gente como Carl Frederick Gauss, con un estudioso de la formación, de algunos de sus más famosos resultados de esa manera (estoy pensando en el Teorema de los números Primos, como se ha mencionado, por ejemplo, en el libro "el Primer Obsesión", por Juan Derbyshire). Sin embargo, como la respuesta anterior, sugerencias acerca de que, si alguien ha obtenido un resultado en matemáticas, usted quiere saber si es la verdad, o sólo la consecuencia de la particular ruta de derivación que se hizo. Venido pensar en él, a la edad de 15 años, me derivados de expresiones algebraicas para la suma de los primeros "n" números, y otro para el primero de los números impares, y la única manera en que yo tenía que saber que esas expresiones son correctas, estaba conectando en algunos enteros sobre ellos, algunos muy grandes, y con una calculadora de bolsillo como una copia de seguridad. Pero la única manera de que uno puede estar realmente convencido de tales declaraciones pueden ser útiles en general, llegó mucho más tarde, cuando me enteré de la inducción matemática (la prueba por inducción).

Habiendo dicho todo eso, en la mayoría de los salones de motivación para un determinado objeto matemático, o tema en particular es casi ciertamente expuesta. Esta motivación puede incluir lo que ustedes llaman derivaciones, como en los volúmenes obtenidos por el triple de las integrales, donde muy a menudo un dibujo está hecho de la diferencia de volumen de los elementos, y se menciona la suma de Riemann (como en el libro de el Conde. W. Swokowski "cálculo con geometría analítica). Incluso Isaac Newton, quien afirmó, como usted ha señalado "que él toma el andamio", si usted lee su libro Philosophia Naturalis Principia Mathematica, e incluso si usted está leyendo el original en latín, que prácticamente se puede seguir muchos de los resultados, derivados bastante a menudo a partir de construcciones geométricas; por ejemplo, en la sección IV, Lema III "De corporum circulari motu en mediis resistentibus" (que creo que podría ser traducido como "acerca de los cuerpos con movimiento circular en la "resistencia" -arrastrar - medios de comunicación), y, a continuación, Newton dibuja una espiral, y se deriva de algunos geométricas consecuencias. También su propagación de ondas en fluidos a través de un agujero, es muy intuitivo, en "Der motu por fluida propagato", sección VIII. Y, por supuesto, la parte que sugieren lo que se convertiría en cálculo diferencial e integral; por ejemplo, en la sección II, "De motu corporum quibus resistitur en duplicata ratione velocitatum", donde se discute que cuando un cuerpo se mueve en un resistiendo medio (y la resistencia es la misma a lo largo de todos), la velocidad disminuye de manera uniforme (véase la imagen; si no se puede ver, el gráfico contiene una sección de una hipérbola, con el "$x$, $y$" - ($t$, $v(t)$) ejes, y de esta hipérbola se divide con los segmentos verticales equidistantes en el "$x$" sentido, para ilustrar cómo una velocidad disminuye proporcionalmente igual a igual transcurrido $\Delta t$, en puntos geométricos que Newton con la etiqueta B, k, l, m, en la hipérbola y, K, L, M sobre la "x" o eje de tiempo). Newton exposiciones son más de lo que ustedes llaman "derivaciones" de que las pruebas en nuestro sentido moderno. También se desprende de Isaac Newton el estilo de la escritura, que este trabajo tiene más "sabor" (por así decirlo) a la filosofía que a lo que podríamos llamar la matemática moderna, pero que es, por supuesto, nuestra histórica, la retrospectiva de la perspectiva.

En conclusión, depende del profesor o investigador, pero no creo que en los tiempos modernos, la intuición ha sido abandonado, y por el contrario se utiliza para el bien de la exposición, pero también, por otro lado, el rigor científico no está abandonado, y la tendencia es mezclar ambos cada vez más y más.