$k$-álgebra de operadores diferenciales con coeficientes en $k(t)$, no suena tiene alguna divisores de cero?

Question

Deje $A = k(t)\langle {d\over{dt}}\rangle$ $k$- álgebra de operadores diferenciales con coeficientes en $k(t)$. Por lo tanto, un elemento de $A$ es una expresión$$F = f_n {{d^n}\over{dt^n}} + f_{n - 1} {{d^{n - 1}}\over{dt^{n - 1}}} + \ldots + f_1 {d\over{dt}} + f_0, \quad f_i \in k(t), \quad i = 1, \ldots, n,$$thought of as an operator $k(t) \a k(t)$. The sum $F + G$ of differential operators $F$ and $G$, is defined by taking the sum of corresponding coefficients $f_k$ and $g_k$, respectively, in front of ${{d^k}\over{dt^k}}$. Multiplication in the ring $k(t)\langle {d\over{dt}}\rangle$ se define como la composición de operadores diferenciales (es fácil ver que esta composición es un operador diferencial de nuevo).

Uno tiene un anillo de involucración $k(t) \hookrightarrow A= k(t)\langle {d\over{dt}}\rangle$, donde una función de $f \in k(t)$ se identifica con el operador de multiplicación $m_f : g \mapsto f \cdot g$. Tenga en cuenta que para $f \in k(t)$, tenemos$${d\over{dt}} \circ m_f - m_f \circ {d\over{dt}} = m_{f'}, \quad \text{where }f' := {{df}\over{dt}}.$$So, the elements $f$ and ${d\over{dt}}$ do not commute in $$, en general.

Pregunta. ¿El anillo de $A$ tiene alguna divisores de cero?

Answer 1

En primer lugar vamos a suponer que $k$ tiene de característica cero.

$A$ actúa linealmente en el ring $k[[t]][t^{-1}]$ formal de la serie de Laurent con coeficientes en $k$ (donde permitimos que sólo un número finito de potencias negativas). Este anillo es un infinito dimensional espacio vectorial sobre $k$. Cada operador diferencial, siendo lineal en esta acción, tiene un núcleo. Este núcleo es siempre finito dimensional distinto de cero para los operadores (esta es la parte que falla en característica positiva). Así, el núcleo del producto de dos a cero a los operadores es finito dimensionales, y, en particular, el producto nunca puede ser cero.

Ahora podemos usar esto para probar el resultado en el carácter $p$. Es suficiente para probar esto para el primer subcampo $\mathbb{F}_p$ porque tomar el producto tensor con el campo completo nos da el resultado.

Deje $k=\mathbb{Q}$, y deje $P$ ser el sub-anillo de $k(t)$ que consta de todos los cocientes de polinomios con coeficientes enteros, donde el denominador es monic. El resultado se mantiene para $A_P$, el sub-anillo que obtenemos al tomar los coeficientes en $P$ en lugar de $k(t)$. La ventaja es que $P$ admite un surjective homomorphism en $\mathbb{F}_p(t)$, que puede ser realizado por tomar el producto tensor $\mathbb{F}_p\otimes P$$\mathbb{Z}$. De forma similar, tenemos $\mathbb{F}_p\otimes A_P\simeq A_{\mathbb{F}_p}$ como anillos, y desde $p$ es el primer y el núcleo se compone de todos los múltiplos de $p$ tenemos que $A_{\mathbb{F}_p}$ sigue siendo un dominio.