Si $\sum_\limits{n\in\mathbb{N}}{b_n}$ es divergente, entonces también lo es $\sum_\limits{n\in\mathbb{N}}{\dfrac{b_n}{1+b_n}}$?

Question

Quiero probar lo siguiente:

Supongamos $\sum_\limits{n\in\mathbb{N}}{b_n}$ es divergente. A continuación, $\sum_\limits{n\in\mathbb{N}}{\dfrac{b_n}{1+b_n}}$ es divergente.

Creo que tienes que demostrar por contradicción y utilizando el criterio de Cauchy. Pero, ¿cómo empezar con eso? O es posible utilizar otro conocido criterio?

Answer 1

Como Daniel fischer señaló que este argumento sólo funciona para el caso especial de no en términos negativos $b_i $.

Sugerencia: si el conjunto de $\{n: b_n \geq 1\} $ es infinito, entonces usted debe saber qué hacer. Sin embargo, si que es finito,entonces intenta hacer uso de la siguiente hecho:

para cada $n $ tal que $b_n<1$ hemos

$$\frac {b_n}{1+b_n} > \frac {b_n}{2} $$

Answer 2

Yo tengo una respuesta cuando el límite de $b_{n}$ no existe y $b_{n}>0$.

Sabemos que $\sum_\limits{n\in\mathbb{N}}{b_n}$ es tan divergentes Si $\lim_\limits{n\to \infty}b_{n}\neq 0$ así $ \lim_\limits{n\to \infty}\dfrac{b_n}{1+b_n}\neq 0. $ Y si $\lim_\limits{n\to \infty}b_{n}= 0$ por lo que aplicar el límite de prueba para la serie $\lim_\limits{n\to \infty}\dfrac{\dfrac{b_n}{1+b_n}}{b_{n}}=1 $ qué nos dice el $ \sum_\limits{n\in\mathbb{N}}{\dfrac{b_n}{1+b_n}}$ es divergente.