Nuestro residente elíptica/modular la función de los expertos no contestó, así que tipo de pensamiento de tener una puñalada en ella con mi limitada comprensión de las materias :
El punto entero de Jacobi $\vartheta$ es que da un poco de noción fundamental acerca de las formas modulares. Como sabemos, se $$\vartheta(z|\tau) = \sum_{n = -\infty}^\infty e^{2i\pi nz} q^{n^2}$$
$q = \exp(i\pi \tau)$ satisface la propiedad $\vartheta(0|\tau+1) = \vartheta(0|\tau)$. Pero también se puede establecer que el $\vartheta(0|-1/\tau) = \sqrt{-i\tau} \cdot \vartheta(0| \tau)$ a través de Possion suma fórmula, que estoy seguro de que usted reconoce como una propiedad, por lo general se ve en las formas modulares. Otra importancia radica en el hecho de que parametrizes mayor género de Fermat curvas, uno de los cuales es la famosa $\vartheta(0|\tau)^4 = \vartheta_{01}(0|\tau)^4 + \vartheta_{10}(0|\tau)^4$. Pero en general, estoy de acuerdo con usted en que el camino de $\wp$ está definido es mucho más fácil de entender y me sorprendería que no fue descubierto antes de Jacobi de la theta, ya que se asemeja a una fórmula derivada de básica de análisis complejo (en su forma más plena atribuido a Mittang-Leffler), es decir, $$\cot(z) = \frac1{z} + \sum_{n \in \Bbb Z} \left [ \frac1{z-n\pi} + \frac1{n\pi}\right ]$$
Ahora sobre tu primera pregunta : bien, vamos a ver qué pasa si reemplazamos $2$ por algunos, incluso, $k$ como los exponentes de los términos. Deje que nos denota por $\wp_\text{buckwheats}$ si no te importa
$$\wp_\text{buckwheats}(z|\omega_1, \omega_2) = \frac1{z^k} + \sum_{(m, n) \neq 0} \left [ \frac{1}{(z+m\omega_1+n\omega_2)^k} - \frac1{(m\omega_1+n\omega_2)^k} \right ]$$
Como se puede ver, este es sólo el habitual $\wp$$k = 2$, por lo que asumimos que el $k \geq 4$. En ese caso, podemos dividir la suma. En primer lugar, transformar el período de celosía de $\wp_\text{buckwheats}$$\{m\omega_1 + n\omega_2 : (m, n) \in \Bbb Z^2\}$$\{m + n\tau : (m, n) \in \Bbb Z^2\}$, que se hace en el costo de un factor constante, que no es de nuestra preocupación. Así que ahora
$$\begin{aligned}\wp_\text{buckwheats}(z|1,\tau) & = \frac1{z^k}+\sum_{(m, n) \neq (0, 0)} \frac1{(z+m+n\tau)^k} - \sum_{(m,n) \neq (0, 0)} \frac1{(m+n\tau)^k} \\ &= \sum_{m,n} \frac1{(z+m+n\tau)^k} - \sum_{(m,n) \neq (0, 0)} \frac1{(m+n\tau)^k}\end{aligned}$$
Este aspecto familiar. De hecho, el extremo derecho de la suma converge absolutamente para algunos holomorphic función de $G_k(\tau)$, a menudo llamado Eisenstein de la serie. Uno de los hecho interesante es que esta función es una forma modular, pero eso es irrelevante aquí a partir de ahora. La suma en el medio, también, tiene una forma cerrada (es una elíptica de la función). De hecho, uno ha $$\begin{aligned} \wp'(z) = -2\sum_{m,n} \frac1{(z+m+n\tau)^3} \\ \Rightarrow \wp^{(k-1)}(z) = (-1)^{k-1} k!\sum_{m,n} \frac1{(z+m+n\tau)^k}\end{aligned}$$
Por lo tanto $\wp_\text{buckwheats}(z|1,\tau) = G_k(\tau)+(-1)^{k-1}/k! \cdot \wp^{(k-1)}(z)$. De hecho, cualquier derivado de la $\wp$s se puede expresar en términos de $\wp$$\wp'$, utilizando la conocida identidad $$\wp'(z|1,\tau)^2 = 4\wp(z|1,\tau)^3 - 60G_4(\tau)\wp(z|1,\tau) - 140G_6(\tau)$$
El hecho de que $\wp_\text{buckwheats}$ es expresable en términos de $\wp$ $\wp'$ (tenga en cuenta que $G_k(\tau)$ es simplemente una constante aquí, dado $\tau$) naturalmente nos lleva a la segunda mitad de su primera pregunta: ¿cómo es que cada elíptica función es expresable en términos de$\wp$$\wp'$? En primer lugar, uno tiene que entender lo que significa 'que se puede expresar'. Esto no es polinomios con coeficientes en $\Bbb C$, contrario a lo que usted ha mencionado, pero las funciones racionales de $\wp$ $\wp'$ con coeficientes en $\Bbb C$. En un lenguaje más formal, se dice que $\mathcal{E}(\Lambda) = \Bbb C(\wp_\Lambda, \wp'_\Lambda)$ donde $\mathcal{E}(\Lambda)$ es el campo de función de elíptica con funciones de periodo fijo de celosía $\Lambda$.
Esto está demostrado por señalar que cualquier función de $f(z)$ puede ser dividido en un extraño e incluso una función de $f(z) = 1/2(f(z)+f(-z))+1/2(f(z)-f(-z))$ e si $g(z)$ es impar, a continuación, $\wp'(z|1,\tau)g(z)$ es aún, por lo tanto, es suficiente para demostrar que una función elíptica es expresable en términos de $\wp$. En primer lugar, una función elíptica $f(z)$. Recordemos que $f(z)$ debe tener polos, de lo contrario sería toda una función y por lo tanto limitado en cualquier subespacio compacto de $\Bbb C$ por lo tanto es constante por el teorema de Liouville.
Ahora deformar la elíptica en función de $f(z)$ en cada uno de los postes $a_k$ fuera del período de celosía $\Lambda_\tau$, si la hay, por un factor de $(\wp(z)-\wp(a_k))^{N_k}$ algún $N_k$ quitar el polo de la $f(z)(\wp(z)-\wp(a_k))^{N_k}$$a_k$. La aplicación de este repetidamente en todos los polos fuera del período de celosía da $$\mathfrak{E}(z) = f(z)\prod_k \left(\wp(z)-\wp(a_k)\right)^{N_k}$$ which is an elliptic function with all the poles inside the period lattice. Now as $\mathfrak{E}(z)$ is even, it has even order at it's poles too. If the Laurent series is something like $\mathfrak{E}(z) = c_{-2n}/z^{2n} + \mathcal{O}(1/z^{2n-2})$ then the order of $\mathfrak{E}(z)-c_{-2n}\wp(z|1,\tau)^n$ at the pole is lesser than that of $\mathfrak{E}(z)$. Repeated application of this procedure until order reduces to $0$ gives a polynomial representation of $\mathfrak{E}(z)$ in $\Bbb C[\wp(z)]$.
La segunda pregunta de la suya es sin duda muy interesante. Nosotros en realidad el estudio de $\Bbb R$ análogos de funciones elípticas, que son simplemente la de una dimensión análogos de funciones elípticas. La cosa es que el número de $\Bbb R$-linealmente independientes de los periodos no puede ser la única manera de pensar acerca de estas formas. Una mirada cercana en el sentido geométrico de estas funciones se puede uno dar una idea aproximada : la fundamental dominio de (digamos) $\cos(2\pi z)$$[0, 1)$. El punto de compactification de esta región es el intervalo cerrado $[0, 1]$, que forma un bucle bajo la acción de $\cos(2\pi z)$, es decir, $\cos(2\pi \cdot 1) = \cos(2\pi\cdot 0)$. Así, uno puede darse cuenta de la compactified fundamental de dominio se $[0,1]$ modulo de la identificación de $0 \sim 1$, que es el círculo unitario $S^1$. De hecho, las funciones trigonométricas como $\sin$ $\cos$ son en realidad dio cuenta de que la armonía del círculo en $\Bbb R^2$.
Similar se puede hacer con las funciones elípticas, en realidad. Por los períodos de $\omega_1, \omega_2$ de algunos de curva elíptica, la fundamental de dominio en el plano complejo es el período de paralelogramo con dos bordes opuestos de ser $\omega_1$$\omega_2$. Si uno se identifica los lados opuestos del paralelogramo y pegar a ellos, entonces uno podría ver realmente el toro tomando forma. Nota que el toro es un género-1 de la superficie, mientras que una esfera es de género-0, lo que induce a los solos funciones periódicas.Uno puede ir un poco más allá y incrustar un complejo de toro en $\Bbb CP^2$ a darse cuenta de elíptica funciones como armónicos en la curva elíptica, que son mucho más interesantes y fascinantes de análisis de armónicos en las esferas.
Como para la última parte de la pregunta, no es muy cierto que la función de campo de funciones periódicas no tienen generadores. Por supuesto, en un típico caso unidimensional de forma individual las funciones periódicas, hechos como el teorema de Liouville no tienen, como mathmax señalado, por lo que no podemos especializar la prueba que hicimos aquí a solas período de funciones, pero si uno trata de darle un poco de estrés en su memoria acerca de un profesor despotricar en análisis real de la clase se toma una vez después de mucho tiempo atrás, tal vez él puede recordar algo similar nombrado después de Fourier! $(*)$
Voy a derrame de los granos. Uno podría pensar que el campo de toda función racional de las variables de $\sin$ $\cos$ es la función de campo de funciones periódicas, pero que de hecho no es el caso. Suave ejemplos podrían ser difíciles de crear, pero creo que algún tipo de mollification a través de discretas ejemplos como los de $x/\pi$ $\lfloor x \rfloor$ es suficiente para dar contraejemplos. En general, hay una herramienta en el análisis de Fourier denomina serie de Fourier, que esencialmente se expande localmente funciones periódicas en términos puramente de funciones periódicas en las regiones locales. Así que si usted ir un paso más allá de la noción fundamental de la función de los campos e introducir poder formal de la serie, ha $\Bbb C [[\sin, \cos]]$ como el campo deseado, bajo ciertas condiciones que la fuerza de la serie de Fourier converge, etc.
$Note (*) :$ Esta observación sólo se explica personal de mi desagrado por el análisis real, que es principalmente porque no la entiendo, así que mis disculpas a alguien que pueda recordar fácilmente el análisis de Fourier o le gusta análisis de Fourier o enseña el análisis de Fourier.
