Una cuestión de la no singularidad

Question

Deje $A$ e $B$ ser matrices tales que $B^2+ AB + 2I = 0$, donde me denota la matriz identidad. Cuál de las siguientes matrices deben ser nonsingular?

(A) $A + 2I$

(B) $B$

(C) $B + 2I$

(D) $A$

He intentado utilizar algunos trucos suponiendo que cada opción a ser nonsingular y luego venir a la forma, pero fue en vano. Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Desde $$\det (B+A)\cdot \det (B) = \det (B^2+AB) = \det (-2I) =-2$$ we see that $\det (B)\ne 0$ so $B$ es invertibile.

Answer 2

Tenemos

$B^2 + AB + 2I = 0, \tag 1$

así

$(B + A)B = B^2 + AB = -2I, \tag 2$

o

$\left ( -\dfrac{1}{2}(B + A) \right )B = I, \tag 3$

es decir,

$B^{-1} = -\dfrac{1}{2}(B + A), \tag 4$

y la respuesta correcta es la (B).

Answer 3

Estoy asumiendo que usted está por encima de los números reales.

Supongamos $B$ es singular y tome $v\ne0$ tal que $Bv=0$; a continuación, $$ 0=(B^2+AB+AB + 2I)v=B^2v+ABv+2Iv=2v, $$ una contradicción. Por lo tanto, $B$ es nonsingular.

Con el fin de excluir el resto de los casos, vamos a ver si $A$, $A+2I$ o $B+2I$ puede ser la matriz cero.

La matriz de $A$ puede ser la matriz cero, porque $$ \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}^2=-2I $$

También se $A+2I$ puede ser el cero de la matriz: la identidad de satisfacer sería $$ B^2-2B+2I=0 $$ y la matriz de \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} satisface. Yo buscaba una matriz con traza $2$ y determinante $2$, por lo que Hamilton-Cayley resuelve el problema.

Puede $B+2I=0$?

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Sólo para la integridad, la misma cálculos pueden llevarse a cabo en cualquier campo, con el mismo resultado, siempre que el campo no tiene carácter $2$. De hecho, la primera contradicción que encontramos es definitivamente no es tal cuando se $2=0$.

En este caso, la identidad se vuelve $B^2+AB=0$ y vemos que $B$ puede ser la matriz cero, con $A$ cualquier matriz. Si $B$ es invertible, entonces a$A=B$.

No hay caso distinción para $A+2I=A$ e $B+2I=B$. Así, en el caso de la característica $2$, ninguna de las cuatro condiciones es forzado.