Si $T$ inyectiva o $T$ surjective, ¿cuál es la composición de la $T^\ast T$? (donde $T^\ast$ denota adjunto de lineal mapa de $T$)

Question

Deje $T:V \to W$ ser una transformación lineal entre el producto interior de los espacios. A continuación, $T^\ast: W \to V$ denota la transformación lineal con la propiedad de que para cada $v \in V$ y $w \in W$, $$\langle T(v),w \rangle = \langle v, T^\ast(w) \rangle.$$ We call $T^\ast$ the adjoint of $T:V \W$.

$\cdot$ Si $T$ es inyectiva es $T^\ast T$ inyectiva (o, posiblemente, un bijection)?

$\cdot$ Si $T$ es surjective es $T T^\ast$ surjective (o un bijection)?

¿Cómo podemos demostrar esto? Los punteros en la dirección correcta apreciado.

Answer 1

Considerar la izquierda de cambio de operador en $\ell^2$ $$ T((x_n)) = (x_2,x_3,\ldots) $$ Entonces $$ T^{\ast}((x_n)) = (0,x_1,x_2,\ldots) $$ A continuación, $T$ es surjective, y $$ T^{\ast}T((x_n)) = (0,x_2,x_3,\ldots) $$ Por lo tanto, $T^{\ast}T$ no es ni inyectiva ni surjective.

Answer 2

empezar con

$$T^*\times T=T\times T^*=\det(T) I_n$$