Pregunta en sheafification de un presheaf

Question

En el capítulo 2 de GTM 52 por Robin Hartshone hay definición de presheaf y la asociada a la gavilla de un determinado presheaf.

He encontrado que la definición de la sheafification es bastante menos natural y muy riguroso. Harthshone no se da ninguna no trivial de hormigón presheaf y su sheafification.

Mis preguntas son :

1. A partir de la definición de un presheaf $\mathcal{F}$(como Hartshone definido) ¿cómo se puede pensar acerca de su sheafification $\mathcal{F}^{+}$ como una colección de mapa : $s: U\rightarrow \cup \mathcal{F}_{p}$ para cada subconjunto $U$ y por qué es $\cup \mathcal{F}_{p}$ más que en otros juegos ?
2. Podría usted por favor, muéstrame un trivial, ejemplo concreto de un presheaf(que no es una gavilla de sí mismo) y su sheafification ?

Gracias !

Answer 1

Para (1), desea que el "sheafification" para tener la misma tallos como $\mathcal F$, así que si permitimos $s(p)$ a ser algo fuera de $\mathcal F_p$, que nos iba a llegar "demasiados" los tallos.

Para (2):

Tomar un espacio de $X$. Definir la presheaf, $F$, para cada una de las $U\subset X$, como el conjunto de los delimitadas las funciones de $f:U\to\mathbb R$. Claramente, si $V\subset U$, $f_{|V}$ es un almacén de la función en $V$, por lo que este es un pre-pliegos.

Pero no es una gavilla, porque no podemos puntada de un número arbitrario de la acotada de funciones para obtener una limitada función.

La gavilla que usted consigue cuando usted "sheafify" este presheaf es la gavilla de todos localmente delimitado funciones, $f$. Esto es lo que generalmente "sheafification", los objetos resultantes son objetos que "localmente" tienen las propiedades de los pre-pliegos.

Tal vez un sencillo ejemplo: supongamos $F(U)$ ser un singleton si el cierre de $U$ es compacto, y vacía si no. A continuación, el sheafification de $F$ daría un singleton en $U$ precisamente al $U$ es localmente compacto.

De hecho, sospecho que casi en cualquier momento que se refieren a algo como "localmente $P$," para algunos la propiedad $P$, se hace referencia a un sheafification de la propiedad original, $P$. (Por ejemplo, la otra respuesta te da la idea de una función constante, y una función de ser "localmente constante.")

Answer 2

El sheafification de un presheaf $\mathcal{F}$ es el "más pequeño" gavilla con el mismo tallos como $\mathcal{F}$.

Un ejemplo clásico (que Hartshorne mismo da) es la presheaf $\mathcal{F}$ de constante $\mathbb{Z}$valores de las funciones. En cualquier conjunto abierto $U$,$\mathcal{F}(U)=\mathbb{Z}$$\mathcal{F}({\emptyset})=0$, con los mapas de restricción de la identidad. (para más información, consulte el artículo de la Wikipedia)

Pero esto no es una gavilla, porque si $U \cap V=\emptyset$, el encolado axioma no se cumple. Suponga que $m \in \mathcal{F}(U)$$n \in \mathcal{F}(V)$$n \neq m$. Desde $m,n$ restringir a cero en $\mathcal{F}(U \cap V)=0$, el encolado axioma requiere la existencia de un único $q \in \mathcal{F}(U \cup V)$ que restringe a cada uno de $m,n$. Pero esto no es posible, dado que la restricción de mapas de todo fueron los mapas de identidad.

La solución es sheafify. El sheafification de $\mathcal{F}$ es la gavilla de localmente constante $\mathbb{Z}$valores de las funciones. Así es $U \cap V=\emptyset$, y cada una de las $U,V$ están conectados, tenemos $\mathcal{F}(U \cup V)=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$.

Answer 3

Primero quiero dar un ejemplo de sheafification que creo que es importante: Deje $X=\mathbb{R}^n$, para cada subconjunto $U$ definimos $\mathcal{F}(U)$ ser el conjunto de todas las constantes de las funciones de la $U$$\mathbb{R}$. A continuación, fácil de ver $\mathcal{F}$ es un presheaf en $X$. Ahora, dada $f_1\in\mathcal{F}(U)$ $f_2\in\mathcal{F}(V)$ donde $U\cap V=\emptyset$, ahora hay función constante $f$ $U\cup V$ tal que $f_{|U}=f_1$$f_{|V}=f_2$. Por lo $\mathcal{F}$ no es una gavilla!. Ahora vamos a definir la gavilla $\mathcal{F}^+$, lo que se asocia a $\mathcal{F}$: por cada $U$, $\mathcal{F}^+(U)=$ el conjunto de todos localmente constante de las funciones de$U$$\mathbb{R}$. Ahora se puede observar que las secciones de $\mathcal{F}^+$ $U$ son creados por pegado de las secciones de $\mathcal{F}$ en abierto más pequeño subconjunto. Este es el punto clave de pensar acerca de sheafification, porque para presheaf no podemos pegamento de las secciones juntas.

Ahora la pregunta (1): en general las secciones de un presheaf no son funciones, por lo que no puede unirlos. En fin de unirlos usted debe de alguna manera la transferencia de funciones, el canónicamente forma de hacerlo es Identificar cada una de las $s\in\mathcal{F}(U)$ con la función $\bar{s}: U\rightarrow \cup \mathcal{F}_{p}$. $\bar{s}$ la captura de todos los comportamientos de $s$. Y ahora usted puede unir $\bar{s}$ tener la gavilla $\mathcal{F}+$. Usted puede leer el capítulo 2 del libro muy fácil de leer "Gavilla " teoría", escrito por Tennison para obtener más detalles.