Null Secuencias y Análisis Real

Question

Me encontré con el siguiente problema durante el curso de mi estudio de análisis real:

Demostrar que $(x_n)$ es un valor nulo de la secuencia de iff $(x_{n}^{2})$ es nulo.

Para todos $\epsilon>0$, $|x_{n}| \leq \epsilon$ para $n > N_1$. Deje $N_2 = \text{ceiling}(\sqrt{N_1})$. A continuación,$(x_{n}^{2}) \leq \epsilon$$n > N_2$. Si $(x_{n}^{2})$ es nulo, a continuación,$|x_{n}^{2}| \leq \epsilon$$n>N$. Deje $N_3 = N^2$. A continuación,$|x_n| \leq \epsilon$$n> N_3$.

Es esto correcto? En general, podríamos decir $(x_{n})$ es nulo iff $(x_{n}^{n})$ es null?

Answer 1

Eso no es del todo correcta, ya que usted no sabe la conexión entre el $n$ $x_n$ - por lo tanto, tomando raíces cuadradas de $n$ no tienen sentido. Lo que puedes hacer es lo siguiente:

1. $x_n\to 0$, por lo tanto para todos los $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $|x_n|<\sqrt{\epsilon}$ si $n\geq N$, pero entonces significa que para todos los $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $|x_n|^2<\epsilon$ si $n\geq N$.

2. $x_n^2\to 0$, por lo tanto para todos los $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $|x_n|^2<\epsilon^2$ si $n\geq N$, pero entonces significa que para todos los $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $|x_n|<\epsilon$ si $n\geq N$.

Answer 2

En relación con la última pregunta, es cierto que, para cualquier entero positivo fijo $k$, $x_n \to 0$ si y sólo si $x_n^k \to 0$. También, $x_n \to 0$ obviamente implica que $x_n^n \to 0$. Por otro lado, $x_n^n \to 0$ no implica $x_n \to 0$ (tomemos, por ejemplo,$x_n = 1/2$ $\forall n$).

Answer 3

Usted podría utilizar el siguiente hecho:

Si una función $f:X\to Y$ entre dos espacios topológicos es continua y $x_n\to x$,$f(x_n)\to f(x)$.

(En caso de que no lo han aprendido en esta generalidad, podría, al menos, saber que esto es cierto para funciones reales o de funciones entre espacios métricos. De hecho, en el caso de funciones reales de la condición anterior es equivalente a la continuidad.)

Usted puede obtener su primer reclamo por la aplicación de el hecho de que las funciones continuas:

$f: \mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$ (una implicación)

$f: \langle 0,\infty)\to \mathbb R$, $f(x)=\sqrt{x}$ (inversa implicación)