discontinua de optimización

Question

Estoy solucionar el siguiente problema:

$$ \max_\rho \;\; \rho \; \min\left[\left( \frac{bn}{an bm} \right)[(a-m)-\rho], \frac{b}{a}[a-(p+\rho)]\right]$$

donde todas las constantes y variables que se definen en $\mathbb{R}^+$.

Siento que debe haber una forma estándar de tratar con este tipo de extraño funciones de optimización? No quiero resolver este numéricamente, necesito hacer estática comparativa en algún momento.

Incluso si no se resuelve este, los punteros sería super útil. Gracias!

Answer 1

He aquí un equivalente de la formulación de su problema: $$ \begin{aligned} \max_{\rho, t} & \rho t \\ \text{s.t.} & t \leq \left( \frac{bn}{an-bm} \right) (a-m-\rho), \\ & t \leq \frac{b}{a} (a-p+\rho), \\ & \rho \geq 0. \end{aligned} $$ Esta es una ecuación cuadrática programa. Usted puede utilice las condiciones KKT para encontrar una solución.

Answer 2

Por traer a la $\rho$ dentro del mínimo, esto es equivalente a encontrar el valor máximo de los mínimos de dos parábolas. Así que el punto óptimo tiene que ser un máximo local de una parábola o una de las intersecciones de las parábolas. Esto reduce el problema a la comprobación de los cuatro valores de $\rho$ y la elección de la persona que da el máximo. Es decir, si

$$ \rho^* = \arg \max_\rho \left[ \min( c_1 \rho - c_2 \rho^2, d_1 \rho - d_2 \rho^2) \right ] $$

A continuación, asumiendo $\max(c_2,d_2) > 0$ (de modo que al menos una de las parábolas es cóncava, lo cual es cierto en su caso), tenemos $$ \rho^* \en \left\{ 0, \frac{c_1}{2 c_2}, \frac{d_1}{2 d_2}, \frac{c_1-d_1}{c_2-d_2} \right\} $$

Debe ser sencilla manipulación algebraica para expresar los coeficientes en términos de sus constantes y, a continuación, conecte los posibles valores de $\rho^*$ y compararlos. Por desgracia parece desordenado sin embargo.