Suma de todos los números de Fibonacci $1+1+2+3+5+8+\cdots = -1$?

Question

Acabo de encontrar la suma de todos los números de Fibonacci y no sé si a su derecho o no.

La secuencia de Fibonacci es como sigue : $1,1,2,3,5,8,13,\dots$ y así sucesivamente

Por lo que la serie de Fibonacci es esta $1+1+2+3+5+8+13+\dots$

Deje $1+1+2+3+5+8+\dots=x$

$$\begin{align} 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + \dots &= x\\ 1 + 1 + 2 + 3 + \dots &= x\\ 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + \dots &= 2x \text{ (shifting and adding)} \end{align}$$

Estamos, de hecho, obtener la misma secuencia. Pero la nueva secuencia es uno menos que la secuencia original. De modo que la nueva secuencia es $x-1$. Pero $x-1=2x$, lo que implica que $x=-1$.

Por lo $1+1+2+3+5+8+\dots=x$, lo que significa... $1+1+2+3+5+8+13+21+\dots=-1$

Es esto correcto o incorrecto? Por favor alguien puede decir? Gracias...

Answer 1

Estás asumiendo que el límite de la suma de los primeros a $n$ números de Fibonacci existe como $n \to \infty$, lo cual no es cierto. Es decir, que en el fin de aplicar su método, la serie debe ser convergente, pero la serie diverge, por lo que su método está mal. Es, sin embargo, relacionada con el poder de la serie de los números de Fibonacci, es decir, $$ 1+z+2z^2+3z^3+5z^4+8z^5+... = \sum_{n=0}^\infty F_{n+1}z^n=\frac{1}{1-z-z^2} $$

Uno puede ver que cuando ponemos a $z=1$, el valor es $-1$, como usted afirma en su respuesta.

Sin embargo, esta serie es sólo convergente al $|z|<\dfrac{1}{\phi}$ donde $\phi$ es la proporción áurea, como debe seguir a partir de la Fórmula de Binet. Ver aquí para una derivación de la parte superior de la identidad, y más información.

Answer 2

El problema es que la serie está tratando de suma es divergente. Usted no puede manipular divergentes serie de reglas que se pueden utilizar con absolutamente convergente la serie! De lo contrario, siguiendo el mismo "método" como el tuyo, yo también puedo reclamar la ridícula afirmación de que $1+2+3+\cdots=0$ como sigue: $$\begin{align} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots &= x\ \fbox1\\ 1 + 2 + 3 + 4 + \dots &= x\\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots &= 2x\ \fbox2 \end{align}$$ También multiplicando $\fbox1$ por 2 da $$2+4+6+8+10+\dots=2x\ \fbox3$$ Así $\fbox1=\fbox2+\fbox3$ $\implies$ $x=2x+2x=4x$ $\implies$ $x=0$ como $1\ne4$.

Obviamente, esto es totalmente absurdo. Esto es debido a que estoy manipulando una divergente la serie por las reglas sólo puede utilizarse con absolutamente convergente la serie. Si una serie es divergente, divergente – tratando de hacer algo fuera de lo que es simplemente inútil.

Answer 3

Dado que los términos de la serie no vaya a $0$, la serie no converge. Relatedly, $x=\infty$ también se resuelve la ecuación $x-1=2x$.

Answer 4

Este tipo de razonamiento (deje $\sum{a_n}=x$ y así sucesivamente) es válida si la serie converge. De lo contrario, es sólo un formalismo matemático, agradable, pero no tiene sentido (al menos en estas contexto. Probablemente el uso de continuación Analítica usted puede dar un poco de motivación para los resultados mediante la generación de funciones). Obviamente la de fibonacci la sucesión no converge a $0$, y por eso la serie no puede converger.