Topología de convergencia puntual.

Question

Me gustaría saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa.

Dejemos que $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff y un conjunto infinito. Si $X$ tiene una topología estrictamente más débil que la topología discreta, entonces la topología de convergencia compacta es estrictamente más fina que la topología de convergencia puntual.

Answer 1

Sí, es cierto. Para ver esto, basta con exhibir una red de funciones continuas que convergen puntualmente a cero pero no uniformemente.

Para mayor claridad, permítanme hacer el caso en el que $X$ es metrizable primero. Elige una métrica $d$ en $X$ y un punto límite $x$ (este punto existe porque $X$ es no discreto). Elija una secuencia $x_{n} \to x$ con $x_{n} \neq x$ . Utilizando la métrica, es fácil construir una función continua $0 \leq f_{n} \leq 1$ tal que $f_{n}(x_n) = 1$ y $f_{n}(y) = 0$ para todos $y$ con $d(y,x_{n}) \geq \frac{1}{2}d(x_{n},x)$ . Comprobemos que $f_{n} \to 0$ en el sentido de la palabra: Desde $f_{n}(x) = 0$ para todos $n$ sólo tenemos que considerar el caso $y \neq x$ . Para $n$ lo suficientemente grande tenemos $d(x,x_{n}) \leq \frac{1}{2} d(x,y)$ para que $d(x_{n},y) \geq \frac{1}{2} d(x_n,x)$ por la desigualdad del triángulo. Se deduce que para tal $n$ tenemos $f_{n}(y) = 0$ , por lo que la secuencia $(f_n)$ converge efectivamente de forma puntual a cero. Como $f_{n}(x_n) = 1$ la secuencia $(f_n)$ no puede converger uniformemente y ninguna de sus subsecuencias o subredes puede hacerlo.

El caso general sigue la misma idea, sustituyendo el uso de la métrica por el lema de Urysohn. Esta es la construcción:

Desde $X$ no es discreto, tiene un punto límite $x$ . Elija un filtro de vecindad $\mathcal{U}$ de $x$ y para $U \in \mathcal{U}$ elija $x_{U} \in U \smallsetminus \{x\}$ . Entonces la red $(x_{U})_{U \in \mathcal{U}}$ converge a $x$ . Por el lema de Urysohn, podemos elegir una función continua $0 \leq f_{U} \leq 1$ tal que $f_{U}(x) = 0$ , $f_{U}(x_{U}) = 1$ y con apoyo en el interior $U$ (¡Ejercicio!). Claramente, $f_{U} \to 0$ puntualmente, pero no de manera uniforme.