la existencia de una función especial

Question

Si existe una función de $f(x,y)$ definido en $[0,1]\times(0,1]$ satisface las siguientes condiciones: para cualquier $x\in(0,1]$, $f(x,y)$ está disminuyendo con respecto a $y$$\lim_{y\rightarrow0}f(x,y)=\log x$.

Answer 1

Sí, por ejemplo, $f(x,y) = \log x - y$

Answer 2

Elija cualquier función de $g(y)$ que es la disminución de la con $y$ $g(0+) = 1$ y poner $f(x,y) = \log(x+y) g(y)$.

Por ejemplo, $g(y) = \frac{\sin(y)}{y}$

Answer 3

¿Qué pasa con algo como esto:

Deje $h\, : \, (0,1] \to \mathbb{R}$ ser cualquier estrictamente creciente una vez continuamente función derivable con $\lim_{y \to 0^+} h(y) = 0$. Definir $f\, : \, [0,1] \times (0,1] \to \mathbb{R}$ por $$f(x,y) = \begin{cases} \log(x) - h(y) & \text{ if } (x,y) \in (0,1] \times (0,1]\\ -h(y) & \text{ if } (x,y) \in \{0\} \times (0,1]\end{casos}$$

Entonces es fácil verificar que $\lim_{y\to 0^+} f(x,y) = \log(x)$ todos los $x\in (0,1]$, e $f$ es la disminución en $y$ fijos $x$ (es decir, $f_y < 0$$(0,1]$)

La arruga de esto es que uno no debe esperar ningún ejemplo de ser continua.