Probar que la siguiente expansión.

Question

Demostrar que

$${e^{-1} =2(\frac{1}{3!} + \frac{2}{5!} + \frac{3}{7!} + \frac{4}{9!} ....)}$$.

Yo soy incapaz de resolver. Sé que tengo que resolver mediante la expansión de ${e^x}$.Pero soy incapaz de entender la manipulación algebraica que tengo que realizar para resolverlo. Por favor me ayude. Gracias! :))

Answer 1

$$\begin{align}e^{-1}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!} \\&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^{2n}}{(2n)!}+\frac{(-1)^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\\&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n+1)-1}{(2n+1)!}\\&=2\sum_{n=0}^\infty\frac{n}{(2n+1)!}\\&=2\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{(2n+1)!}\end{align}$$