Si una generación de función para $f(n)$ es racional, $f(n)$ no puede ser más que exponencial.

Question

Si he de generación de función para $f(n)$ definido por

$g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n)x^n=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$,

donde $P(x)$ $Q(x)$ son polinomios y $Q(x)$ no es la función cero, ¿cómo podría yo demostrar que $f(n)$ no es más que exponencial?

Answer 1

1. Desde $Q(0)\ne0$, $|Q(z)|\geqslant a$ para cada $z$ en un barrio de $0$, dicen que por cada $|z|\leqslant\varepsilon$, para algunas de las $a\gt0$$\varepsilon\gt0$.
2. Desde $P$ es continua, $|P(z)|\leqslant b$ por cada $|z|\leqslant\varepsilon$, para algunos finito $b$.
3. Para cada $n$, $$ f(n)=\frac1{2\mathrm i\pi}\cualquier\frac{P(z)}{Q(z)}\frac{\mathrm dz}{z^{n+1}}, $$ donde la integral es sobre el círculo de la ecuación de $|z|=\varepsilon$, cuya longitud es de $2\pi\varepsilon$.
4. En particular, $$ |f(n)|\leqslant\frac1{2\pi}2\pi\varepsilon\frac{b}\frac1{\varepsilon^{n+1}}=cK^n, $$ con $c=b/a$$K=1/\varepsilon$.

Answer 2

Si se mira hacia atrás a su problema usted ver que $f(n)$ no es nada, pero la n-ésima derivada de su racionales polinómicas $\frac{P(x)}{Q(x)}$ dividido por $ n! $. Me remito a mi Tel. D tesis (sección 6.2.1) que cubre el tema de la búsqueda de la n-ésima derivada de cualquier polinomio racional. En otras palabras, usted obtiene una forma cerrada de la fórmula para el n-ésima derivada que puede ayudar a usted a la conclusión de que la afirmación:

https://docs.google.com/file/d/0B4FXAHVyGS9KMGRiNDMyNDctMmQ1NS00MDI3LTk2OWEtNzc3N2ZlNDVmYjJm/edit?hl=en_GB&pli=1