Deje $|\langle u,v\rangle|=\|u\| \cdot \|v\|.$ Cómo mostrar que $u,v$ son linealmente dependientes?

Question

Deje $|\langle u,v\rangle|=\|u\|\cdot \|v\|.$ Cómo mostrar que $u,v$ son linealmente dependientes?

Sin pérdida de generalidad deje $u\ne0,v\ne0.$

A continuación, $\displaystyle\left\langle\frac{u}{\|u\|},\frac{v}{\|v\|}\right\rangle=1=\left\langle\frac{u}{\|u\|},\frac{u}{\|u\|}\right\rangle\\\implies\displaystyle\left\langle\frac{u}{\|u\|},\frac{u}{\|u\|}-\frac{v}{\|v\|}\right\rangle=0$

No sé qué hacer a continuación.

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Agregado: Un pensamiento que se me acaba de ocurrir:

$\displaystyle\left\langle\frac{u}{\|u\|},\frac{u}{\|u\|}-\frac{v}{\|v\|}\right\rangle=0=\left\langle \frac{v}{\|v\|},0\right\rangle\\\implies \displaystyle\left\langle\frac{u}{\|u\|}-\frac{v}{\|v\|},\frac{u}{\|u\|}-\frac{v}{\|v\|}\right\rangle=0\\\implies \dfrac{u}{\|u\|}-\dfrac{v}{\|v\|}=0$

Funciona?

Answer 1

Escribir $\lambda=\langle u,v\rangle/\Vert v\Vert^2$. Vamos $$ w=u-\lambda v. $$ Entonces $$ \begin{aligned} \langle w,w\rangle&=\langle u,u\rangle-\overline{\lambda}\langle u,v\rangle-\lambda\langle v, u\rangle+|\lambda|^2\langle v,v\rangle\\ &=\Vert u\Vert^2-2\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\Vert v\Vert^2}+\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\Vert v\Vert^4}\Vert v\Vert^2\\ &=\Vert u\Vert^2-2\frac{\Vert u\Vert^2\cdot\Vert v\Vert^2}{\Vert v\Vert^2}+ \frac{\Vert u\Vert^2\cdot\Vert v\Vert^2}{\Vert v\Vert^2}\\ &=\Vert u\Vert^2(1-2+1)=0. \end{aligned} $$ Por lo $w=0$ $u$ $v$ debe ser dependiente.

Answer 2

Si estamos hablando de un verdadero producto interior, $$ \langle\,u,v\,\rangle=\pm\|u\|\|v\| $$ implica $$ \langle\,u\|v\|\mp v\|u\|,u\|v\|\mp v\|u\|\,\rangle=0 $$ Por lo tanto, $u\|v\|\mp v\|u\|=0$.

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Si estamos hablando de un complejo producto interior, entonces $$ |\langle\,u,v\,\rangle|=\|u\|\|v\| $$ Podemos encontrar una $z\in\mathbb{C}$, de modo que $|z|=1$ $\langle\,zu,v\,\rangle\ge0$ (es decir, no es un real negativo). $$ \begin{align} \langle\,zu\|v\|-v\|u\|,zu\|v\|-v\|u\|\,\rangle &=2\|u\|^2\|v\|^2-2\mathrm{Re(}\langle\,zu,v\,\rangle)\|u\|\|v\|\\[6pt] &=0 \end{align} $$

Answer 3

Una idea: que $\,x\in\Bbb R\,$ ser un parámetro, entonces

$$ \langle u+xv,u+xv\rangle=||u||^2+2\text{Re}\langle u,v\rangle x+x^2||v||^2\;\;\;\;(**)$$

El anterior real de segundo grado en $\,x\,$ tiene una única raíz iff

$$\Delta:=b^2-4ac=4\left(\text{Re}\langle u,v\rangle\right)^2-4||u||^2\,||v||^2=0\iff\left|\text{Re}\langle u,v\rangle\right|=||u||\,||v||$$

En este caso, el cuadrática es

$$||v||^2x^2\pm 2||u||\,||v||\,x+||u||^2 =\left(||v||x\pm||u||\right)^2$$

y el único (el doble de la raíz) es

$$x=\pm \frac{||u||}{||v||}$$

y por lo tanto (**) se convierte en

$$0=\langle u+xv,u+xv\rangle\iff u=-xv\iff\;u\;,\;v\;\;\text{are linearly dependent}$$

Answer 4

Supongamos $u=kv$ algunos $k\neq0$ ¿qué se obtiene?

Answer 5

Supongamos $u\neq 0$ $v\neq 0$ son linealmente dependientes, es decir, existen coeficientes de $ \lambda, \gamma$ no tanto igual a $0$ tal que $w:=\lambda u+\gamma v=0$.

Pero, a continuación,

$$0=|\langle u,w\rangle|=\|u\|(|\lambda|\|u\|+|\gamma|\|v\|).$$

¿Qué se puede concluir de ($\|u\|\neq 0$)? Usted necesita considerar 2 casos diferentes.