$f\in L^1\cap L^2$ implica $\hat f \in L^1$?

Question

Dado $f\in L^1(\mathbb R^d)\cap L^2(\mathbb R^d)$. La de Riemann-Lebesgue lema y el unitarity de la transformada de Fourier en $L^2$ implica que el $\hat f \in L^2\cap C_0$ donde $C_0$ son funciones continuas en descomposición en el infinito. Mi profesor afirmó que $\hat f\in L^1$, lo que no es obvio en mi opinión.

Es esto correcto?

Answer 1

Esto no es cierto.

Simplemente tome $f = \chi_{[-1,1]}$ (el indicador de la función del intervalo de $[-1,1]$). A continuación, $f \in L^p$ todos los $p \in (0,\infty]$, pero si $\widehat{f} \in L^1$ era cierto, entonces la transformada de Fourier de la inversión que implicaría que

$$ f = \mathcal{F}^{-1} \widehat{f} \en C_0 $$

sería (casi igual en todas partes a) una función continua. Claramente, este no es el caso.

Answer 2

Su profesor está mal y Umberto P. es correcto. Si tomamos $$ f(x)= K_0(|x|) $$ donde $K_0$ es una función Bessel modificada de segunda clase, tenemos $f\geq 0$ y el: $$ \int_{-\infty}^{+\infty}K_0(|x|)\,dx = \pi,\qquad \int_{0}^{+\infty}K_0(|x|)^2\,dx = \frac{\pi^2}{2},$$ por lo $f\in L^1\cap L^2(\mathbb{R})$, pero: $$ \widehat{f}(s) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{1+s^2}} $$ no pertenece a $L^1(\mathbb{R})$.