Cómo llegué al problema:
Deje $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x-a_1)^2+(y-a_2)^2}}+\frac{1}{\sqrt{(x-b_1)^2+(y-b_2)^2}}$ donde $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{R}, a=(a_1,a_2)\neq (b_1,b_2)=b$ son fijos y $x,y \in \mathbb{R}, b \neq (x,y)\neq a$ (también Se puede ver $a$ $b$ como vectores en $\mathbb{R^2}$. Quiero demostrar que la derivada de esta función tiene exactamente un punto de $z=(x_0,y_0)$ donde la derivada es cero, por ejemplo,$D(f(z))=0$.
Uno puede ver fácilmente que
$p_1((x,y))=\frac{\partial}{\partial x}f=\frac{a_1-x}{\left(\left(x-a_1\right){}^2+\left(y-a_2\right){}^2\right){}^{3/2}}+\frac{b_1-x}{\left(\left(x-b_1\right){}^2+\left(y-b_2\right){}^2\right){}^{3/2}}$
mientras que
$p_2((x,y))=\frac{\partial}{\partial y}f=\frac{a_2-y}{\left(\left(x-a_1\right){}^2+\left(y-a_2\right){}^2\right){}^{3/2}} +\frac{b_2-y}{\left(\left(x-b_1\right){}^2+\left(y-b_2\right){}^2\right){}^{3/2}}$
Antes de ir más profundo, veamos un ejemplo de la función:
Me puse a $a=(0,0)$ $b=(1,0)$ y obtener
Podemos ver fácilmente que el único punto donde la derivada es cero es exactamente entre los picos, así que supongo que $z=\frac{a+b}{2}$. Establecemos y verificar fácilmente que $p_1(z)=p_2(z)=0$ (por lo que el total de derivados también será 0 en z). Ahora tenemos que probar que esta es la única solución que es la parte más difícil para mí. Podemos jugar un poco con esto y llegar a dos finales de las ecuaciones (será justo debajo de este).
Ahora el verdadero problema:
$(1) 0=\left(a_1-x\right)\left(\left(b_2-y\right){}^2+(\text{b1}-x)^2\right){}^{3/2}+\left(b_1-x\right)\left(\left(a_1-x\right){}^2+\left(a_2-y\right){}^2\right){}^{3/2}$
$(2) 0=\left(b_2-y\right) \left(\left(a_1-x\right){}^2+\left(a_2-y\right){}^2\right){}^{3/2}+\left(a_2-y\right) \left(\left(b_1-x\right){}^2+\left(b_2-y\right){}^2\right){}^{3/2}$
Hemos terminado si puedo demostrar que $(1)$ $(2)$ implica que $(x,y)=z=\frac{a+b}{2}$. Pero incluso Mathematica no se en que uno, espero que usted puede proporcionar un poco de ayuda en este paso final.
