Cuando los polinomios f(x) y f'(x) son relativamente primos, f(x) no tiene raíces repetidas. Por qué?

Question

El problema es demostrar que un polinomio $f(x) \in F[x]$ (F es un campo) no tiene raíces repetidas si y sólo si f(x) y f'(x) (la derivada de f(x)) son relativamente primos. He logrado demostrar una dirección de este equivalencia (si no hay raíces repetidas, f(x) y f'(x) son relativamente primos), pero el otro me da dolores de cabeza... ¿alguien puede ayudar?

Answer 1

SUGERENCIA $\rm\ \ g^2\ |\ f\ \Rightarrow\ g\ |\ gcd(f,f{\:'})\ $ desde $\rm\ (g^2\:h)'\:=\ g\ (g\:h' + 2\:g'\:h)\:.$

Answer 2

Así que vamos a probar que si f(x) y f'(x) son primos relativos, entonces no hay ninguna repetida raíces. Consideremos el contrapositivo: si no es la repetición de una raíz, entonces f(x) y f'(x) no son relativamente primos. Este, creo, es muy simplemente para probar.

Indicar la raíz repetida por r. A continuación,$f(x) = (x-r)g(x)$$f'(x) = (x-r)h(x)$, para algunas de las $g(x)$ y algunos $h(x)$.