Utilizando teoría de residuo, muestran que $\oint_C\frac{e^{z/2}}{1+e^z}dz = 2\pi$

Question

<blockquote> <p>Utilizando teoría de residuo, muestran que %#% $ #%</p> </blockquote> <p>He tratado este problema usando la teoría de residuos y la fórmula integral de Cauchy que sobre un cerrado del contorno que contiene un polo (raíz de $$\oint_C\frac{e^{z/2}}{1+e^z}dz = 2\pi$),</p> <p>Deberíamos podemos confirmar $\pi i$ con la ecuación de $2\pi$, pero cuando hago esto me estoy poniendo $f(i\pi)\cdot 2\pi i$, alguien me puede ayudar?</p>

Answer 1

mrf la respuesta ya te muestra el camino, pero debido a lo que usted escribió al final de su pregunta, que al parecer desea utilizar el teorema de Cauchy

$$f(z_0)=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}dz$$

siempre que $\;f(z)\;$ es analítica en el simple, cerrado el camino de $\,\gamma\,$ y en el interior del dominio que encierra.

En nuestro caso, podemos tomar la serie de Taylor alrededor de $\;\pi i\;$ :

$$e^z=-1-\frac{(z-\pi i)}{1!}-\frac{(z-\pi i)^2}{2!}-\ldots=-\sum_{k=0}^\infty\frac{(z-\pi i)^k}{k!}\implies$$

$$1+e^z=-(z-\pi i)-\mathcal O((z-\pi i)^2)\implies\frac1{1+e^z}=-\frac1{z-\pi i}\frac1{1+\mathcal O(z-\pi i)}$$

Observe que para $\,|z-\pi i|<1\;$ , tenemos que

$$\frac1{1+\mathcal O(z-\pi i)}=1-\mathcal O(z-\pi i)+\left(\mathcal O(z-\pi i)\right)^2-\ldots$$

y por lo tanto nuestros integral, al $\,C\,$ encierra sólo la pole $\,\pi i\,$ , es

$$\oint\limits_C\frac{e^{z/2}}{1+e^z}dz=-\oint\limits_C\frac{e^{z/2}}{z-\pi i}dz=\left.-2\pi i\cdot e^{z/2}\right|_{z=\pi i}=-2\pi i\cdot i=2\pi$$

donde $\,f(z):=e^{z/2}\implies f(\pi i)=e^{\pi i/2}=i\;$

Answer 2

Las singularidades de $\dfrac{e^{z/2}}{1+e^z}$ son todos simples, por lo que podemos calcular el residuo a $\pi i$ usando L'Hospital: $$\begin{align} \lim{z\to\pi i}\frac{(z-\pi i)e^{z/2}}{1+e^z} &=e^{\pi i/2}\lim{z\to\pi i}\frac{z-\pi i}{1+e^z}\ &=i\lim_{z\to\pi i}\frac1{e^z}\[6pt] &=-i \end {Alinee el} $$ por lo tanto, la integral a lo largo de cualquier camino que circunda $\pi i$ una vez a la izquierda y no otras singularidades, es $2\pi i(-i)=2\pi$. Por lo tanto, $$ \oint_C\frac{e^{z/2}}{1+e^z}\,\mathrm{d}z=2\pi $$

Answer 3

Suponiendo que $i\pi$ es el único poste dentro de su contorno, y que el contorno es contador horario orientado, $$ \operatorname{Res}\limits{z=i\pi} \frac{e^{z/2}}{1+e^z} = \left. \frac{e^{z/2}}{e^z} \right|{z=i\pi} = \frac{e^{i\pi/2}}{e^{i\pi}} = -i, $$ lo \int_C \frac{e^{z/2}}{1+e^z}\,dz $$ = 2\pi i \cdot (-i) = 2\pi. $$

Answer 4

Para verificar con $f(i\pi)$, debe modificar el integrando como %#% $ #%

donde $$ f(i\pi )= \frac{1}{2\pi i} \oint_C\frac{e^{z/2}\frac{(e^z+1)}{(z-i\pi)}}{(z-i\pi)}dz, $ está dada por

$$ f (z) =\begin{cases} e^{z/2}\frac{(e^z+1)}{(z-i\pi)}, \, z\neq i\pi \ -i,\,z=i\pi \end{casos}. $$

Nota:

$f(z)$$