Cómo saber el conjunto es finito, contables o incontables

Question

Estoy tratando de entender si el conjunto es finito, contables o incontables.

$$\{x \in\Bbb Q \mid 1<x<2 \} \qquad\text{is countable. }$$

pero yo no entiendo por qué a pesar de que. es contable porque no hay finito de números entre el 1 y el 2? ¿cómo podría usted contar todos los números entre el 1 y el 2? ¿por qué no puedo ser incontable??

Un problema adicional era yo givien: $$\left\{ \frac mn \mid m,n \in \Bbb N, m<100, 5<n<105\right\}$$ is finite. i think it is finite because $\Bbb$ N es mayor o igual a 1. N > 1. me gustaría saber si estoy bien o mal. Quiero entender que todo lo que hago.

Gracias por los esfuerzos y el tiempo

Sinceramente

Answer 1

Contables significa que usted puede poner en bijection con $\Bbb N$ (algunas personas incluyen a los conjuntos finitos como contable, pero que parecen significar countably infinito). Has visto la prueba de que todos los de $\Bbb Q$ o $\Bbb {N \times N}$ es contable? Su primera es un subconjunto de este, por lo que es claramente contables. Hay un número infinito de racionales entre $1$$2$.

Para el segundo, sólo hay $100$ opciones para $m$ (o $99$ si no se incluyen $0$) y $99$ opciones para $n$, e $100 \times 99$ es claramente finito.

Answer 2

Hay varias razones de por qué el primer conjunto dado es contable; la manera en que yo preferiría hacer esto es por el resultado de que una contables de la unión de contable de conjuntos contables:

Si pensamos acerca de los racionales en su forma habitual de $\frac{p}{q}$ algunos $p,q \in \Bbb N$, $q=2$ hemos countably muchas opciones de $p$ de manera tal que nuestro número racional es entre el$1$$2$. Como podemos, a continuación, repita este proceso para $q \in \Bbb N$ tal que $q>1$, vemos que cada vez tenemos countably muchas opciones para $p$, y, por tanto, como tenemos una contables de la unión de los conjuntos (para un determinado $q$)

$$\{p \in\Bbb N \mid 1<\frac{p}{q}<2 \}$$

de ello se sigue que el conjunto debe ser contables (y como nuestra unión es a través de una countably conjunto infinito, se deduce que su conjunto también debe ser countably infinito, y puede ser finito). Usted puede utilizar un estilo similar a la de la prueba para demostrar que el conjunto de $\Bbb Q$ es contable.