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¿Es$K=\{f\mid f\in \Pi_n , \|f\|\le 1\}$ equicontinuo o no?

Estoy tratando de encontrar que el conjunto de abajo es equitativo o no:

$$K=\{f\mid f\in \Pi_n , \|f\|\le 1\}$ $$$\Pi_n=\{\text{polynomials of degree }\le n \text{ over } [a,b]\}$ $ con la norma:$$||f||=\sup_{x\in \mathcal{D}(f)}|f(x)|$ $ Probé que si cambiamos la condición$f\in \Pi_n$ a$f\in \mathcal{C}$ no es equitativo con el uso del teorema de Weierstrass :

PS

Por lo tanto, para cada$$W_\varepsilon:\mathcal{C} \to \Pi \quad st \quad \|W_\epsilon(f)-f\|<\epsilon$ y$0 < \varepsilon <1$ tenemos la función$0<\delta$ donde no se mantiene la equcontinuidad de$f_\delta(x)=W_\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\sin(n\pi x)\right)$ st:

PS

¿Qué lado de la conjetura es verdadero?

2voto

Martin R Puntos 7826

Sin pérdida de generalidad, puede asumir que$[a, b] = [-1, 1]$. La "desigualdad de los hermanos Markov" establece que $$ \ sup_ {x \ en [-1, 1]} | p '(x) | \ le n ^ 2 \ sup_ {x \ en [-1, 1]} | p (x) | $$ para todos los polinomios$p$ de grado$\le n$, por lo tanto $$ | p '(x) | \ le n ^ 2 $$ para todos los$p \in K$ y todos los$x \in [-1, 1]$. De ello se deduce que$K$ es equitativo.

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