Método de carga de imagen para elipse

Question

Si ponemos un electrón externo fuera de un metal elíptico descrito por: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ ¿cómo determinamos la carga o cargas imagen de ese electrón dentro de esta elipse?

Answer 1

No sé si hay una forma fácil de escribir una respuesta a este problema en forma cerrada, ¡al menos a mí no me resulta evidente! Creo que se puede obtener una solución aproximada, basada en un problema que ya sabemos resolver.

En lugar de un aro elíptico, considere el problema de encontrar el potencial fuera de un aro circular conectado a tierra en el $\rho$ - $\theta$ avión. El potencial debido a dos partículas cargadas $q_1$ et $q_2$ en las posiciones $(R_1, \theta_1)$ et $(R_2, \theta_2)$ en cualquier punto $(\rho, \theta)$ en el plano viene dada por:

$4\pi\epsilon_0V = \frac{q_1}{\sqrt{R_1^2 +\rho^2 - 2R_1\rho\cos(\theta_1 - \theta)}} + \frac{q_2}{\sqrt{R_2^2 +\rho^2 - 2R_2\rho\cos(\theta_2 - \theta)}}$

Si dejamos que $q_2 = -\frac{q_1R}{R_1}$ , $R_2 = \frac{R^2}{R_1}$ y $\theta_1 = \theta_2$ encontramos:

$4\pi\epsilon_0V = \frac{q_1}{\sqrt{R_1^2 +\rho^2 - 2R_1\rho\cos(\theta_1 - \theta)}} - \frac{\frac{q_1R}{R_1}}{\sqrt{\frac{R^4}{R_1^2} +\rho^2 - 2\frac{R^2}{R_1}\rho\cos(\theta_1 - \theta)}}$

De lo que se deduce fácilmente que el potencial desaparece en el círculo (es decir, cuando $\rho = R$ ).

Ahora queremos encontrar una manera de aplicar nuestro conocimiento de cómo resolver este problema al problema más complicado del potencial en el espacio exterior de un aro elíptico conectado a tierra. Consideremos la cartografía de Joukowski: $z = \zeta + \frac{c^2}{\zeta}$ . Enchufar $R_{\zeta}e^{i\theta_\zeta}$ para $\zeta$ en esta ecuación nos da:

$z = (R_\zeta + \frac{c^2}{R_\zeta})\cos(\theta_\zeta) + (R_\zeta - \frac{c^2}{R_\zeta})i\sin(\theta_\zeta)$

Cuál es la ecuación de una elipse con semiejes $a = (R_\zeta + \frac{c^2}{R_\zeta})$ , $b = (R_\zeta - \frac{c^2}{R_\zeta})$ . Dados los a y b de la elipse del problema, $R_{\zeta}$ y el parámetro $c$ puede resolverse, obteniéndose $c = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{2}$ , $R_\zeta = \frac{a + b}{2}$ , $ a > b$ .

Esta cartografía toma puntos de la $z$ plano donde vive nuestra elipse, y los mapea a puntos en el $\zeta$ avión. Si tenemos una carga de prueba $q$ en un punto $R_{z1}e^{i\theta_{z1}}$ fuera de la elipse en este plano, podemos utilizar la cartografía inversa $\zeta(z) = \frac{z + \sqrt{z^2 - 4c^2}}{2}$ para encontrar su posición especular en el $\zeta$ avión. Una vez en el $\zeta$ plano, podemos encontrar la posición $(R_{\zeta2}, \theta_{\zeta2})$ de la carga de la imagen $q_2 = -q_1\frac{R_\zeta}{R_\zeta1}$ señalando que $R_{\zeta2} = \frac{R_\zeta^2}{R_{\zeta1}}$ , $\theta_{\zeta2} = \theta_{\zeta1}$ . Entonces, como la transformación preserva el ángulo, podemos volver al $z$ plano (donde está la elipse) y hallar $(R_{z2}, \theta_{z2})$ por escala $R_{\zeta2}$ por la cantidad $\sqrt{(R_{\zeta2} + \frac{c^2}{R_{\zeta2}})^2 + (R_{\zeta2} - \frac{c^2}{R_{\zeta2}})^2}$ con $\theta_{z2} = \theta_{\zeta2}$ .

Answer 2

Este problema se trata en un artículo de J. Sten de 1996: "Focal image charge singularities for the dielectric elliptic cylinder".

La solución de la imagen implica básicamente una tira con carga y densidad dipolar variables, además de (dependiendo de la ubicación de la fuente y de la forma del cilindro) una carga de línea de imagen similar a la del caso del cilindro circular.