Cuál es la suma de $1^4 + 2^4 + 3^4+ \dots + n^4$ y la derivación para que la expresión

Question

¿Cuál es la suma de $1^4 + 2^4 + 3^4+ \dots + n^4$ y la derivación para que la utilización de expresión $\sum$ las sumas y sumas de dobles $\sum$$\sum$?

Answer 1

Si no quieres ver fórmula de Faulhaber podría intentar %#% $ #%

Si suma a ambos lados de esta y saber calcular las cantidades de $$(n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1$ debe ser capaz de calcular la suma de $n^3, n^2, n \text{ and } 1$.

Answer 2

Una forma es mediante el uso de Euler-Maclaurin suma fórmula, algo que extrañamente no encontrar en la mayoría de los estándar de cálculo de los libros.

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula

Deje $f(x) = x^4$.

Entonces

$$f'(x) = 4x^3, f'''(x) = 24 x, f^{(5)}(x) = f^{(7)}(x) = ... = 0 $$

Y de acuerdo a la fórmula,

$$ \sum_{k=1}^{n} k^{4} = \sum_{k=0}^{n} k^{4} = \int_{0}^{n} x^{4} \ dx - B_{1} \left( f(n) - f(0) \right) + \frac{B_{2}}{2!} \left(f'(n) - f'(0) \right) + \frac{B_{4}}{4!} \left(f'''(n) - f'''(0) \right)$$

donde $B_{i}$ es un número de Bernoulli.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number

Así

$$\sum_{k=1}^{n} k^{4} = \frac{n^{5}}{5} + \frac{1}{2} (n^{4}) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} \right) (4n^{3}) + \frac{1}{24} \left(-\frac{1}{30}\right)(24n) $$

$$ = \frac{n^{5}}{5} + \frac{n^{4}}{2} + \frac{n^{3}}{3} - \frac{n}{30}$$

Answer 3

Cada racionales polinómicas $P$ que toma valores enteros $P[n]$ $n\in\Bbb N$ puede escribirse de forma única como un entero combinación lineal de los polinomios $\binom nk$ (fija $k$; tiene grado $k$$n$): $$P[n]=\sum_{k=0}^{\deg P}c_k\binom nk \quad\text{for all $n\in\Bbb$N.} $$ These individual polynomials satisfy $\sum_{i=0}^{n-1}\binom ik=\binom n{k+1}$, and correspondingly $\binom{n+1}k-\binom nk=\binom n{k-1}$ (when $k>0$). Since each $\binom nk$ starts with $k$ values $\binom 0k=\binom1k=\cdots\binom{k-1}k=0$ followed by $\binom kk=1$, we can find the coefficient $c_0$ of $\binom n0$ as $P[0]$, and the remaining coefficients by forming $P'[n]=P[n+1]-P[n]=\sum_{k=1}^{\° P}c_k\binom n{k-1}$ (this is not really the derivative of $P$ of course), and continuing recursively with$~P'$. In practice one need not compute $P'$ as a polynomial, just as a list of values at various$~n$, obtained by taking differences from the sequence of $P$. For $P[n]=n^4$ uno se $$ \begin{matrix} P: & 0 & & 1 & & 16 & & 81 & & 256 & & 625 & & 1296\\ & P': & 1 & & 15 & &65 & & 175 & & 369 & & 671\\ & & P'': & 14 & & 50 & & 110 & & 194 & & 302 \\ & & & & 36 & & 60 & & 84 & & 108\\ & & & & & 24 & & 24 & & 24 \\ \end{de la matriz} $$ por lo $(c_0,c_1,\ldots,c_4)=(0,1,14,36,24)$. A continuación,$n^4=\binom n1+14\binom n2+36\binom n3+24\binom n4$, y $$ \sum_{i=0}^{n-1}n^4=\binom n2+14\binom n3+36\binom n4+24\binom n5. $$ Puede ampliar fácilmente que en un quintic expresión polinómica en $n$. Por favor nota: la suma es de hasta el $n-1$; esto funciona mejor en esta configuración.

Creo que esto se llama la versión discreta de la expansión de Taylor (o algo parecido a eso).

Answer 4

La suma puede ser derivada a través de combinatoria argumento.

Contar el número de quintuples $(x_1,x_2,x_3, x_4,x_5)$ con la propiedad $x_5> \max\limits_{i\in S}$ desde el set $S=\{1,2,...,n,n+1\}$,

entonces como $x_5$ varía de $2$$n+1$, las posiciones $(x_1,x_2,x_3, x_4)$ las posiciones pueden ser llenados en $\sum\limits_{i=1}^n i^4$ maneras.

Cuenta, según los casos: $5 = 4 + 1 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2+1+1+1=1+1+1+1+1$ (donde el número de particiones de indicar el número de componentes igual en esa partición, es decir, por ejemplo, $5=4+1$ corresponde al caso de $x_1=x_2=x_3=x_4<x_5$; y $2+2+1$ corresponde al caso de dos pares tienen el mismo valor, pero el valor de la pareja son diferentes , ... y así sucesivamente). Contar el número de maneras en que cada una de las particiones que puede suceder: $1,14,36,24$ respectivamente (en el mismo orden que he presentado las particiones).

Usted consigue el número de maneras de ser: ${n+1\choose 2}+14{n+1\choose 3}+36{n+1 \choose 4}+24{n+1\choose 5}$

Por lo tanto, $\sum\limits_{i=1}^n i^4 = {n+1\choose 2}+14{n+1\choose 3}+36{n+1 \choose 4}+24{n+1\choose 5} = (1/5)n^5 + (1/2)n^4 + (1/3)n^3 - (1/30)n$.

Answer 5

Aquí mi favorito es el método que funciona para cualquier polinomio sumando y usted sólo tiene que recordar dos hechos básicos, uno de cálculo y uno sobre polinomios. En primer lugar, desde sumatorias son análogas a las de integración, tenemos que

$$\int x^k \approx x^{k+1} \Rightarrow \sum x^k \approx x^{k+1}.$$

Para tu problema, vamos a definir

$$f(n)=\sum_{i=1}^n i^4$$

y desde el sumando es un polinomio de grado cuatro, la suma de $f(n)$ debe ser un polinomio de grado cinco. Si no me creen, a continuación, acaba de calcular, al menos, los seis primeros valores de $f(n)$ y calcular el sexto diferencias y todos los términos serán de cero (análoga a la sexta derivado de un quinto grado del polinomio es cero).

A continuación, utilizando el (segundo) en el hecho de que un polinomio de grado de cinco años puede ser determinada únicamente por seis puntos, los puntos de uso $$(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3)),(4,f(4)),(5,f(5)),(6,f(6))$$ y calcular el único interpolación polinomial y se obtiene

$$f(n)=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}.$$