La convergencia puntual de las funciones Lipschitz es uniforme

Question

Digamos que tenemos $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que para todo $n$ tenemos $|f_n(x)-f_n(y)|\leq L|x-y|$ y $f_n \to f$ puntualmente.

¿Es uniforme la convergencia?

Empecé con un intento de demostrarlo mostrando el Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme : para cualquier $c\in[a,b]$ $$|f_n(x)-f_m(x)|=|f_n(x)-f_n(c)+f_n(c)-f_m(c)+f_m(c)-f_m(x)|\\\leq|f_n(x)-f_n(c)|+|f_n(c)-f_m(c)|+|f_m(c)-f_m(x)|\leq 2L|x-c|+|f_m(c)-f_n(c)|.$$

Ahora dejemos que $\epsilon>0$ existe $n,m$ tal que $|f_m(c)-f_n(c)|<\frac \epsilon 2$ de la convergencia puntual. Además, si tomamos $x\in(c-\frac \epsilon {4L},c+\frac \epsilon {4L})$ obtenemos $|f_n(x)-f_m(x)|<2L\frac \epsilon {4L}+\frac \epsilon 2=\epsilon$ . Así pues, tenemos una convergencia uniforme en $(c-\frac \epsilon {4L},c+\frac \epsilon {4L})$ para todos $c\in[a,b]$ . Podemos obtener coberturas finitas de estas coberturas, donde tenemos convergencia uniforme, y tomar el máximo $N$ de todos esos intervalos para obtener una convergencia uniforme en $[a,b]$ .

Sin embargo, mi amigo me presentó un posible contraejemplo : $f_n(x)=nxe^{-nx}$ en [0,1], donde la derivada está acotada, y la convergencia es sólo puntual a 0, y no uniforme.

No he podido encontrar dónde falla mi prueba, y me alegraría que alguien me lo indicara.

Answer 1

El contraejemplo es erróneo: la secuencia $f_n(x)=nxe^{-nx}$ no es uniformemente Lipschitz en $[0,1]$ ya que, como $n\to +\infty$ , $$\frac{f_n(1/n)-f_n(0)}{1/n-0}=ne^{-1}\to +\infty.$$

Además su prueba es correcta. Véase también Dada la secuencia de $L-$ Funciones Lipschitz que convergen puntualmente, demostrar la convergencia uniforme

Answer 2

+1 por la respuesta de Robert...

Sea $\varepsilon>0$ y fijar $\delta=\min\left[\frac{\varepsilon}{4}, \frac{\varepsilon}{4L}\right]$ . Dado que la colección de bolas abiertas $\mathcal{B}: = \{B(\, x, \delta) : x \in [a,b] \}$ es una tapadera para $[a,b]$ podemos refinar $\mathcal{B}$ a una subcubierta finita, digamos $\{B(\,x_1, \delta), \, \ldots, \, B(\,x_K, \delta)\}$ (Teorema de Heine-Borel). Dado que $f_n$ converge puntualmente en $[a,b]$ para cada punto $x_j \: \left(\,j=1,\ldots, K \right)$ existe un número entero positivo $N_j$ para que \begin{equation} \left|\, f_n(x_j) - f_m(x_j) \right| < \frac{\varepsilon}{4} \text{ whenever } n, m \geq N_j \,. \end{equation} Fijamos $N = \max [N_1, \ldots, N_K]$ . Ahora, dado $x \in [a,b]$ sabemos que existe un número entero positivo $M_x \geq N$ para que $|\,f_{M_x}(x)-f(x)| < \frac{1}{4}\varepsilon$ (ya que $f_n \to f$ puntualmente) y que $|x-x_j| < \delta$ para algunos $j \in \{1, \ldots, K\}$ (definición de cubierta). Combinamos para notar que si $x \in [a,b]$ y $n \geq N$ entonces

\begin{aligned} \left|\,f_n(x)- f(x) \right| & \leq \left| \,f_n (x)- f_n(x_j) \right| + \left| \,f_n (x_j)- f_{M_x}(x_j) \right| + \left|\, f_{M_x} (x_j)- f_{M_x}(x) \right| + \left|\, f_{M_x}(x)- f(x) \right| \\ & < \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon \, . \end{aligned} Por lo tanto, $f_n \to f$ uniformemente en $[a,b]$ .