Dado un triángulo con los puntos en $\mathbb{R}^3$, encontrar las coordenadas de un punto perpendicular a un lado

Question

Considere el triángulo ABC en $\mathbb{R}^3$ formado por el % de punto $A(3,2,1)$, $B(4,4,2)$, $C(6,1,0)$.

Encontrar las coordenadas del punto de $D$ $BC$ tal que $AD$ es perpendicular a $BC$.

Creo que esto utiliza las proyecciones, pero parece que no puedo empezar. He probado la proyección de $AC$ en $BD$ y $AB$ en $BC$, pero no sirvió de nada.

¡Cualquier ayuda es amada! Gracias.

Answer 1

Aquí le damos una forma, probablemente.

El vector de dirección de $BC$ es $(2,-3,-2)$.

Se da un punto genérico $D_t$ $BC$ $(4,4,2)+t(2,-3,-2)$. El vector de dirección de $AD_t$ es $(1,2,1)+t(2,-3,-2)$. El producto escalar de este con $(2,-3,-2)$ es $-6+17t$. Este producto de punto debe ser $0$.

Terminamos con $D=\left(\frac{80}{17},\frac{50}{17},\frac{22}{17} \right)$.

Answer 2

Editado:

Hay dos ideas es este.

(1),$AD$ debe ser perpendicular a $BC$, por lo que su producto escalar debe ser igual a 0.

(2),$D$ es en $BC$, por lo que debemos encontrar un eqn. para la línea de $BC$.

Vamos a empezar con (2). Sabemos que el vector de dirección de la línea de $BC$ es paralelo al vector $\overrightarrow BC$ $<2,-3,-2>$ y la línea que pasa a través de $B(4,4,2)$. Por lo tanto, la paramétrico eqn. para la línea de $BC$ debe ser $$x = 2t+4$$ $$y = -3t+4$$ $$z=-2t+2$$

Esto significa que todos los puntos en la línea de $BC$, en particular, $D$, se tienen coordenadas de la forma $$D(2t+4,-3t+4,-2t+2)$$

Ahora vamos a pasar a (1).

Los vectores $\overrightarrow {AD}$ $\overrightarrow{BC}$ son perpendiculares uno al otro, entonces su producto escalar debe ser 0, i.e $$<3-(2t+4),2-(-3t+4),1-(-2t+2)> \cdot <2,-3,-2> = 0$$

Todo lo que tienes que hacer es encontrar a $t$ y vuelva a enchufarlo.