La equivalencia entre la integral de Cauchy y Riemann integral para delimitadas las funciones de

Question

Definiciones

Supongamos $P\colon a=x_0<x_1<\dotsb<x_n=b$ es una partición de a $[a,b]$. Deje $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ $\lVert P\rVert$ denota $\max_{0<k\le n}\Delta x_k$.

La de Cauchy de la integral de una función $f$ en el intervalo cerrado $[a,b]$ es igual a $I$ si y sólo si para cada una de las $\epsilon>0$, hay algunos $\delta>0$, para cada una de las particiones $P$ $[a,b]$ tal que $\lVert P\rVert<\delta$,$\left\lvert\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x_k-I\right\rvert<\epsilon$.

Problema

Si $f$ está delimitada en $[a,b]$ cuyo Cauchy de la integral es igual a$I$, $f$ es Riemann-integrable y $\int_a^bf=I$.

De fondo

Es un ejercicio de nuestro cálculo(análisis) problemset libro, y hay una sugerencia: considerar las particiones cuyas $x_k-x_{k-1}$ es una constante para diferentes $k$'s, y trate de calcular la suma de Riemann para cada una de estas particiones a través de la integral de Cauchy.

No tengo idea acerca de la estimación de tales. Después de sacar algunas fotos, me he desanimado. Busqué en google en el Internet y encontré un artículo. Me di cuenta de que es muy distinto enfoque y con algunas técnicas avanzadas (tales como el análisis de una medida positiva set -- discontinuidades). Espero que haya algunos más simple approachers, así como la sugerencia, dice. Necesito una descripción más detallada de la sugerencia, o una solución. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias!

Answer 1

D. C. Gillespie demostrado el teorema en 1915 (Anales de las Matemáticas, Vol.17) y lo que es una prueba !
Proponer la prueba como un ejercicio de un libro de cálculo parece bastante extraño ...

Sin embargo, vea el ejercicio 2.1.19 en Bressoud es Un Enfoque Radical para Lebesgue de la Teoría de la Integración. Hay una sugerencia en la página 300. Puede ayudar ?

Véase también el teorema 1 en Kristensen, Poulsen, Reich Una caracterización de Riemann-Integrabilidad, La American Mathematical Monthly, vol.69, Nº 6, pp 498-505.

Pero la historia es la misma !

Answer 2

Creo que usted debe tratar de usar la definición de la integral de Riemann y el trabajo con las sumas de Darboux: aquí.

Answer 3

Creo que para una clase de cálculo/libro, esto podría ser demasiado complicado. Sin embargo, antes de tener una adecuada teoría de la medida supuesto, me enseñaron que una función es integrable si tiene un número limitado de discontinuidades (o de clase I y II discontinuidades), además de ser limitada.

$$\sum_{k=1}^{n}\left | f(t_{k})\cdot \bigtriangleup x_{k} - I \right | = \sum_{k=1}^{n}\left | f(t_{k})\cdot \bigtriangleup x_{k} - f(x_{k})\cdot \bigtriangleup x_{k} + f(x_{k})\cdot \bigtriangleup x_{k} - I \right | \leq \sum_{k=1}^{n} \left \{ \left | f(t_{k}) - f(x_{k}) \right |\cdot \bigtriangleup x_{k} + \left | f(x_{k})\cdot \bigtriangleup x_{k} - I \right | \right \} \leq \varepsilon + \sum_{k=1}^{n} \left | f(t_{k}) - f(x_{k}) \right |\cdot \bigtriangleup x_{k} $$

Ahora, si $f(x)$ es continua, entonces es uniforme continua en $[a,b]$, de modo que podemos recoger $P$ tal que $max \left | f(t_{k}) - f(x_{k}) \right | \leq \frac{\varepsilon }{b-a}$ y luego: $$\sum_{k=1}^{n} \left | f(t_{k}) - f(x_{k}) \right |\cdot \bigtriangleup x_{k} \leq \frac{\varepsilon }{b-a} \sum_{k=1}^{n} \bigtriangleup x_{k} = \varepsilon$$

Si $f(x)$ es curva y tiene un número limitado de discontinuidades, entonces podemos dividir $[a,b]$ en sub-segmentos y "hacer" $f(x)$ continua en los sub-segmentos. Debería ser suficiente para probar esto para el caso con una discontinuidad, y el uso de la inducción después de eso.

Sin embargo, la condición necesaria y suficiente para que los estados que el conjunto de puntos de discontinuidad debe tener la medida de cero. Si es así, entonces: $$\sum_{k=1}^{n} \left | f(t_{k}) - f(x_{k}) \right |\cdot \bigtriangleup x_{k}$$ se puede dividir en: $$\sum_{k=1}^{n} \left | f(t_{k}) - f(x_{k}) \right |\cdot \bigtriangleup x_{k} \leq M \cdot \mu(D_{n-m}) + \sum_{i=1}^{m} \left | f(t_{k_{i}}) - f(x_{k_{i}}) \right |\cdot \bigtriangleup x_{k_{i}} $$ where summation is on the continuous part of the $[a,b]$, $M=max|f(x)|$, $D_{n-m}$ is the remaining part of $[a,b]$ containing the set of points of discontinuity and $\mu(D_{n, m})$ is its measure which goes to zero. So, this is the biggest question; how, using the fact that Cauchy integral is equal to $I$, para demostrar que el conjunto de puntos de discontinuidad tiene la medida de cero? Tiendo a estar de acuerdo con @Tony Piccolo respuesta ...